Derivadas y aplicaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Que la recta tangente sea horizontal quiere decir que tiene pendiente cero. Por tanto, nos están pidiendo la recta tangente en aquellos puntos en que la derivada sea 0.

Calculamos la función derivada y la igualamos a 0:$$f'(x) = \frac{-2x}{(1 + x^2)^2}.$$La función derivada solo se anula para el valor $x = 0$. Tenemos $f(0) = 1$ y $f'(0) = 0$.

Por tanto, la ecuación de la recta tangente será$$y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 0(x - 0) + 1 = 1$$$$\boxed{y = 1.}$$Comentario: para la ecuación de la recta tangente también se puede utilizar directamente, sabiendo que es horizontal, la ordenada del punto de la gráfica.

b) La pendiente de la recta tangente es la función derivada. Por tanto, nos están pidiendo el máximo de la función derivada. Los candidatos a máximo de la función derivada son los ceros de la función derivada de la función derivada, es decir, los ceros de la derivada segunda $f''(x)$. Calculamos $f''(x)$, la igualamos a 0 y resolvemos la igualdad.$$f''(x) = \frac{-2(1 + x^2)^2 - (-2x)\,2(1 + x^2)\,2x}{(1 + x^2)^4} =$$$$= \frac{-2(1 + x^2)^2 + 8x^2(1 + x^2)}{(1 + x^2)^4} = \frac{-2(1 + x^2) + 8x^2}{(1 + x^2)^3} = \frac{6x^2 - 2}{(1 + x^2)^3}$$Por tanto, $f''(x) = 0 \Longrightarrow 6x^2 - 2 = 0 \Longrightarrow x^2 = \frac{1}{3} \Longrightarrow x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

A partir de estos valores singulares, los intervalos de crecimiento y decrecimiento para la función derivada seránPor tanto, la pendiente será máxima en el punto de abscisa $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ y ordenada$$f\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1}{1 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3}{4}.$$Es decir, en el punto $\boxed{\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{3}{4}\right)}$.

Comentario: para la determinación del máximo, el estudiante puede, alternativamente, en lugar de utilizar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f'$, a partir del signo de $f''$, estudiar el signo de la siguiente derivada ($f'''$) en los puntos candidatos. A los efectos oportunos:$$f'''(x) = \frac{24x\,(1 - x^2)}{(1 + x^2)^4}.$$Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por el cálculo de la derivada.
• 0,25 p. por la igualación a 0.
• 0,25 p. por el punto de tangencia.
• 0,25 p. por la ecuación de la recta tangente.

b)

• 0,25 p. por el argumento de anular la derivada segunda (hecho o no hecho explícitamente).
• 0,25 p. por el cálculo de la derivada segunda.
• 0,25 p. por los puntos singulares.
• 0,25 p. por los intervalos y el punto final.