Determinantes

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)$$A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$$$B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ -8 & 4 \end{pmatrix}$$b) Si suponemos que el determinante de la matriz $A$ fuera NO nulo (diferente de cero), la matriz inversa de $A$ existiría. Multiplicando la matriz inversa de $A$ por la izquierda de ambos miembros de la expresión $A \cdot B = 0$, obtendríamos

$A^{-1} \cdot A \cdot B = A^{-1} \cdot 0$, y, por tanto, $B = 0$, que contradiría el supuesto de que las dos matrices son no nulas.

El razonamiento se puede reproducir para la matriz $B$.

Por tanto, el determinante de la matriz $A$ y el de la matriz $B$ tienen que ser nulos.

Comentario: cualquier otro razonamiento equivalente y correcto será igualmente bien valorado.

Pautas de corrección

a)

• 0,5 p. por el primer producto.
• 0,5 p. por el segundo producto.

b)

• 0,25 p. por el planteamiento de reducción al absurdo.
• 0,25 p. por la existencia de la inversa.
• 0,25 p. por la conclusión de la nulidad.
• 0,25 p. por el argumento equivalente para la otra matriz.