Sistemas de ecuaciones

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) La matriz $A$ es invertible si y solo si $\det(A) \neq 0$.$$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & a-1 \\ 1 & a & 1 \\ 4 & 3a & 1 \end{vmatrix} = a + 3a(a-1) - 4a(a-1) - 3a = -a^2 - a = -a(a+1)$$Por tanto, $A$ es invertible si y solo si $a \neq 0$ y $a \neq -1$.

b) Hay que discutir el sistema de ecuaciones lineales con matriz y matriz ampliada$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & a-1 & 0 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 4 & 3a & 1 & 3 \end{array}\right)$$

• En el apartado anterior ya hemos visto que $\operatorname{rang}(A) = 3$ si y solo si $a \neq 0$ y $a \neq -1$. En este caso, el sistema de ecuaciones es compatible y determinado, tiene una única solución y se trata de tres planos que se cortan en un punto.

• Para $a = 0$ tenemos

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$$\operatorname{rang}(A) < 3$, pero está claro que $\operatorname{rang}(A) = 2$ (porque la primera y la segunda fila no son proporcionales) y, en cambio, calculando el determinante$$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 4 - 1 + 3 = 1 \neq 0$$observamos que $\operatorname{rang}(MA) = 3$.

De ello se deduce que el sistema es incompatible y que, por tanto, no hay ningún punto común a los tres planos.

Se trata de tres planos que se cortan dos a dos (porque dos a dos no son paralelos, al no ser proporcionales los respectivos vectores normales) en rectas paralelas.

• Para $a = -1$ tenemos $\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 4 & -3 & 1 & 3 \end{array}\right)$.

$\operatorname{rang}(A) < 3$, pero está claro que $\operatorname{rang}(A) = 2$ (la primera y la segunda fila no son proporcionales) y, en cambio, calculando el determinante$$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 8 - 1 + 6 = 0,$$observamos que $\operatorname{rang}(MA) = 2$.

Por tanto, $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(MA) = 2$ y el sistema es compatible indeterminado con $(3 - 2 = 1)$ un grado de libertad. Se trata de tres planos que se cortan en una recta.

Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por el planteamiento de la nulidad del determinante.
• 0,25 p. por el cálculo del determinante.
• 0,25 p. por el cálculo de los valores de $a$.
• 0,25 p. por la respuesta final.

b)

• 0,25 p. por el planteamiento general a partir de la discusión del sistema.
• 0,25 p. por el primer caso.
• 0,25 p. por el segundo caso.
• 0,25 p. por el tercer caso.