Integrales

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a) Calculamos los puntos de intersección por parejas de funciones.$$\begin{cases} y = x \\ y = 2x \end{cases} \Longrightarrow x = 2x,\ x = 0,\ y = 0 \Longrightarrow \boxed{P = (0,0)}$$$$\begin{cases} y = x \\ y = x^2 \end{cases} \Longrightarrow x = x^2 \Longrightarrow x^2 - x = x(x-1) = 0 \Longrightarrow x = 0 \text{ o } x = 1$$$$x = 0,\ y = 0 \Longrightarrow P = (0,0)$$$$x = 1,\ y = 1 \Longrightarrow \boxed{Q = (1,1)}$$$$\begin{cases} y = 2x \\ y = x^2 \end{cases} \Longrightarrow 2x = x^2 \Longrightarrow x^2 - 2x = x(x-2) = 0 \Longrightarrow x = 0 \text{ o } x = 2$$$$x = 0,\ y = 0 \Longrightarrow P = (0,0)$$$$x = 2,\ y = 4 \Longrightarrow \boxed{R = (2,4)}$$Y cuando hacemos el esbozo, obtenemos la representación gráfica siguiente:

b) Para calcular el área del recinto, lo tenemos que descomponer en dos partes: por un lado, la parte limitada por la recta $y = 2x$ y, por otro, la recta $y = x$ y la parte limitada por la recta $y = 2x$ y la parábola.$$S = \int_0^1 (2x - x)\,dx + \int_1^2 (2x - x^2)\,dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1 + \left.\left(x^2 - \frac{x^3}{3}\right)\right|_1^2 =$$$$= \frac{1}{2} - 0 + 4 - \frac{8}{3} - 1 + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + 3 - \frac{7}{3} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \boxed{\frac{7}{6}\,u^2}$$Observación: las descomposiciones alternativas del recinto que sean correctas también se dan por buenas. Por ejemplo:$$S = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx - \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left.\left(x^2 - \frac{x^3}{3}\right)\right|_0^2 - \left.\left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right)\right|_0^1 =$$$$= 4 - \frac{8}{3} - 0 - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = 4 - \frac{8}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{24 - 16 - 3 + 2}{6} = \frac{7}{6}\,u^2$$Pautas de corrección

a)

• 0,25 p. por el punto $P$.
• 0,25 p. por el punto $Q$.
• 0,25 p. por el punto $R$.
• 0,25 p. por el esbozo.

b)

• 0,25 p. por el planteamiento de las integrales.
• 0,25 p. por el cálculo de las primitivas.
• 0,25 p. por la aplicación de la regla de Barrow.
• 0,25 p. por el cálculo final.