Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Junio · Opción B

a) Lados. El triángulo equilátero de perímetro $x$ tiene lado $\frac{x}{3}$; el cuadrado de perímetro $100 - x$, lado $\frac{100 - x}{4}$.

Áreas. La altura de un triángulo equilátero de lado $\ell$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}\ell$, así que su área es $\frac{\sqrt{3}}{4}\ell^2$:$$A_\triangle = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{x}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{36}x^2, \qquad A_\square = \left(\frac{100 - x}{4}\right)^2 = \frac{(100 - x)^2}{16}$$Función.$$S(x) = \frac{\sqrt{3}}{36}x^2 + \frac{(100 - x)^2}{16}, \qquad 0 \le x \le 100\ \ (\text{en cm}^2)$$b) Derivada.$$S'(x) = \frac{\sqrt{3}}{18}x - \frac{100 - x}{8}$$Punto crítico. $S'(x) = 0$; multiplicando por $72$:$$4\sqrt{3}\,x - 9(100 - x) = 0 \;\Longrightarrow\; (4\sqrt{3} + 9)\,x = 900 \;\Longrightarrow\; x = \frac{900}{4\sqrt{3} + 9}$$Racionalizando, $x = \dfrac{900(9 - 4\sqrt{3})}{81 - 48} = \dfrac{300(9 - 4\sqrt{3})}{11} \approx 56{,}50\ \text{cm}$, que está dentro de $[0, 100]$.

Es un mínimo. $S''(x) = \frac{\sqrt{3}}{18} + \frac{1}{8} > 0$ para todo $x$: la función es convexa y el punto crítico es su mínimo, también el absoluto en $[0, 100]$. Vale$$S\!\left(\frac{900}{4\sqrt{3} + 9}\right) = \frac{2500\sqrt{3}}{4\sqrt{3} + 9} \approx 271{,}85\ \text{cm}^2$$(con unos $56{,}50\ \text{cm}$ para el triángulo y $43{,}50\ \text{cm}$ para el cuadrado).

c) Candidatos. El único punto crítico es el mínimo, así que el máximo absoluto en $[0, 100]$ está en uno de los extremos del intervalo:$$S(0) = \frac{100^2}{16} = 625\ \text{cm}^2, \qquad S(100) = \frac{\sqrt{3}}{36}\cdot 100^2 = \frac{2500\sqrt{3}}{9} \approx 481{,}13\ \text{cm}^2$$Máximo. $S(0) > S(100)$, así que el máximo se alcanza en $x = 0$, con $625\ \text{cm}^2$.

Interpretación. $x = 0$ significa que no se construye triángulo: todo el alambre se usa para el cuadrado, de lado $25\ \text{cm}$. Con un perímetro fijo, el cuadrado encierra más área que el triángulo equilátero, así que lo mejor para tener la mayor área es dedicarle todo el alambre.