Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Junio · Opción B

También trata: Rectas y planos

Enunciado

Dados el punto

A(5, 7, 3)

y la recta

r: \dfrac{x - 3}{-1} = \dfrac{y + 1}{3} = \dfrac{z}{2}

, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La recta

s

que corta a la recta

r

, pasa por el punto

A

, y es perpendicular a la recta

r

. (4 puntos)

b) La distancia del punto

A

a la recta

r

. (3 puntos)

c) La distancia del punto

B(1, 1, 1)

al plano

\pi

que pasa por

(3, -1, 0)

y es perpendicular a

r

. (3 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } s: \tfrac{x - 5}{4} = \tfrac{y - 7}{2} = \tfrac{z - 3}{-1}\ \ (\text{corta a } r \text{ en } P(1, 5, 4))}

\boxed{\text{b) } d(A, r) = \sqrt{21} \approx 4{,}58\ \text{u}}

\boxed{\text{c) } \pi: x - 3y - 2z - 6 = 0;\quad d(B, \pi) = \tfrac{5\sqrt{14}}{7} \approx 2{,}67\ \text{u}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La recta

s

que buscamos sale de

A

y llega a

r

formando un ángulo recto. El punto donde la corta,

P

, es el pie de la perpendicular desde

A

r

se toma un punto genérico de $r$ (con su paramétrica) y se exige que $\overrightarrow{AP}$ sea perpendicular al director de $r$ ;
así salen $P$ y el director de $s$ a la vez.

Ese mismo

P

resuelve b): la distancia de

A

r

|\overrightarrow{AP}|

. En c), el plano perpendicular a

r

tiene por normal el director de

r

; después se aplica la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

Desarrollo

a) Paramétricas de $r$ . Pasa por

Q(3, -1, 0)

con director

\vec v = (-1, 3, 2)

r: \begin{cases} x = 3 - t \\ y = -1 + 3t \\ z = 2t \end{cases} \qquad P_t = (3 - t,\; -1 + 3t,\; 2t)

Vector de $A$ a un punto de $r$ .

\overrightarrow{AP_t} = (3 - t - 5,\; -1 + 3t - 7,\; 2t - 3) = (-2 - t,\; -8 + 3t,\; 2t - 3)

Perpendicularidad.

\overrightarrow{AP_t}\cdot\vec v = 0

(-2 - t)(-1) + (-8 + 3t)\cdot 3 + (2t - 3)\cdot 2 = 2 + t - 24 + 9t + 4t - 6 = 14t - 28 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 2

Punto de corte y director. Con

t = 2

P = (1, 5, 4), \qquad \overrightarrow{AP} = (-4, -2, 1)

Como director de

s

tomamos el opuesto,

(4, 2, -1)

.

Recta $s$ . Pasa por

A(5, 7, 3)

s: \frac{x - 5}{4} = \frac{y - 7}{2} = \frac{z - 3}{-1}

Comprobación.

(4, 2, -1)\cdot(-1, 3, 2) = -4 + 6 - 2 = 0

✓, y

P

está en

s

\frac{1 - 5}{4} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{4 - 3}{-1} = -1

✓.

b) Distancia. El pie de la perpendicular es

P

, así que

d(A, r) = |\overrightarrow{AP}| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{21} \approx 4{,}58\ \text{u}

Comprobación con la fórmula

d(A, r) = \dfrac{|\overrightarrow{QA}\times\vec v|}{|\vec v|}

\overrightarrow{QA} = (2, 8, 3)

\overrightarrow{QA}\times\vec v = (8\cdot 2 - 3\cdot 3,\; 3\cdot(-1) - 2\cdot 2,\; 2\cdot 3 - 8\cdot(-1)) = (7, -7, 14)

, de módulo

\sqrt{294} = 7\sqrt{6}

; entre

|\vec v| = \sqrt{14}

\sqrt{21}

✓.

c) Plano $\pi$ . Su normal es el director de

r

(-1, 3, 2)

, y pasa por

(3, -1, 0)

-(x - 3) + 3(y + 1) + 2z = 0 \;\Longrightarrow\; -x + 3y + 2z + 6 = 0 \;\Longleftrightarrow\; \pi: x - 3y - 2z - 6 = 0

Distancia de $B(1, 1, 1)$ .

d(B, \pi) = \frac{|1 - 3\cdot 1 - 2\cdot 1 - 6|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-2)^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{14}} = \frac{10}{\sqrt{14}} = \frac{5\sqrt{14}}{7} \approx 2{,}67\ \text{u}

Consejo

Una recta perpendicular a $r$ que pase por $A$ hay infinitas (todas las del plano perpendicular a $r$ por $A$ ); la que piden además corta a $r$ , y por eso se busca el pie $P$ . Dar solo un director perpendicular a $\vec v$ no basta.

En b) aprovecha el trabajo de a): la distancia es el módulo de $\overrightarrow{AP}$ y te ahorras la fórmula del producto vectorial.