Sea A una matriz cuadrada tal que A^2 + 2A = 3I, donde I es la matriz identidad. Calcular razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Los valores de a y b para los cuales A^{-1} = aA + bI. (3 puntos) b) Los valores de \alpha y \beta para los cuales A^4 = \alpha A + \beta I. (4 puntos) c) El determinante de la matriz 2B^{-1}, sabiendo que B es una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante es 2. (3 puntos)

Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Junio · Opción B

También trata: Determinantes

Enunciado

Sea

A

una matriz cuadrada tal que

A^2 + 2A = 3I

, donde

I

es la matriz identidad. Calcular razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Los valores de

a

b

para los cuales

A^{-1} = aA + bI

. (3 puntos)

b) Los valores de

\alpha

\beta

para los cuales

A^4 = \alpha A + \beta I

. (4 puntos)

c) El determinante de la matriz

2B^{-1}

, sabiendo que

B

es una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante es 2. (3 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } a = \tfrac{1}{3},\; b = \tfrac{2}{3}}

\boxed{\text{b) } \alpha = -20,\; \beta = 21}

\boxed{\text{c) } |2B^{-1}| = 4}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

No conocemos

A

, solo una relación que cumple. La idea es usarla como una regla de sustitución:

Para la inversa, se saca $A$ factor común en $A^2 + 2A$ y se busca algo que, multiplicado por $A$ , dé $I$ .
Para la potencia, se despeja $A^2 = 3I - 2A$ y se va subiendo: cada vez que aparece un $A^2$ se sustituye, así que todas las potencias acaban siendo de la forma $\alpha A + \beta I$ .
El apartado c) es otra matriz y solo pide dos propiedades de los determinantes: la de un múltiplo y la de la inversa.

Desarrollo

a) Factor común.

A

conmuta con

I

, así que

A^2 + 2A = A(A + 2I) = 3I \;\Longrightarrow\; A\cdot\frac{1}{3}(A + 2I) = I

Del mismo modo,

(A + 2I)A = A^2 + 2A = 3I

, así que

\frac{1}{3}(A + 2I)

también es inversa por la izquierda. Por tanto

A

es invertible y

A^{-1} = \frac{1}{3}A + \frac{2}{3}I \;\Longrightarrow\; a = \frac{1}{3},\quad b = \frac{2}{3}

b) Regla de sustitución. De la relación,

A^2 = 3I - 2A

.

Tercera potencia.

A^3 = A\cdot A^2 = A(3I - 2A) = 3A - 2A^2 = 3A - 2(3I - 2A) = 7A - 6I

Cuarta potencia.

A^4 = A\cdot A^3 = A(7A - 6I) = 7A^2 - 6A = 7(3I - 2A) - 6A = -20A + 21I

Así que

\alpha = -20

\beta = 21

.

Comprobación. También

A^4 = (A^2)^2 = (3I - 2A)^2 = 9I - 12A + 4A^2 = 9I - 12A + 4(3I - 2A) = 21I - 20A

✓.

c) Propiedades. Para una matriz de orden

n

|kM| = k^n|M|

|M^{-1}| = \dfrac{1}{|M|}

. Con

n = 3

|B| = 2

|2B^{-1}| = 2^3\,|B^{-1}| = 8\cdot\frac{1}{|B|} = 8\cdot\frac{1}{2} = 4

Consejo

El error típico de c) es escribir $|2B^{-1}| = 2\,|B^{-1}| = 1$ : el $2$ multiplica las tres filas, así que sale $2^3$ . Fíjate siempre en el orden de la matriz.

En b) no hace falta encontrar $A$ : basta con sustituir $A^2$ una y otra vez. Si te sobra tiempo, calcula $A^4$ por otro camino, como $(A^2)^2$ , para comprobarlo.