Matemáticas IIFácil3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Junio · Opción A

También trata: Vectores y ángulos · Rectas y planos

Enunciado

Dados los puntos

A(-1, 2, \lambda)

B(2, 3, 5)

C(3, 5, 3)

, donde

\lambda

es un parámetro real, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El valor del parámetro

\lambda

para que el segmento

AC

sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo de vértices

A

B

C

. (3 puntos)

b) El área del triángulo de vértices

A

B

C

cuando

\lambda = 6

. (4 puntos)

c) La ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices

A

B

C

cuando

\lambda = 6

. (3 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } \lambda = \tfrac{5}{2}}

\boxed{\text{b) Área} = \tfrac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3{,}54\ \text{u}^2}

\boxed{\text{c) } y + z - 8 = 0}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

AC

es la hipotenusa, el ángulo recto está en el vértice que queda,

B

: los catetos

\overrightarrow{BA}

\overrightarrow{BC}

tienen que ser perpendiculares, es decir, de producto escalar cero. Eso da una ecuación de primer grado en

\lambda

.

Con

\lambda = 6

, el producto vectorial

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}

sirve para los dos apartados que quedan: su módulo es el doble del área del triángulo y el propio vector es normal al plano que lo contiene.

Desarrollo

a) Catetos. El ángulo recto está en

B

\overrightarrow{BA} = (-1 - 2,\; 2 - 3,\; \lambda - 5) = (-3, -1, \lambda - 5), \qquad \overrightarrow{BC} = (3 - 2,\; 5 - 3,\; 3 - 5) = (1, 2, -2)

Perpendicularidad. Su producto escalar debe ser cero:

\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} = -3 - 2 - 2(\lambda - 5) = 5 - 2\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = \frac{5}{2}

Comprobación. Con

\lambda = \frac{5}{2}

|\overrightarrow{BA}|^2 = 9 + 1 + \frac{25}{4} = \frac{65}{4}

|\overrightarrow{BC}|^2 = 9

\overrightarrow{AC} = \left(4, 3, \frac{1}{2}\right)

, con

|\overrightarrow{AC}|^2 = 16 + 9 + \frac{1}{4} = \frac{101}{4} = \frac{65}{4} + 9

✓ (Pitágoras).

b) Vectores con $\lambda = 6$ . Ahora

A(-1, 2, 6)

\overrightarrow{AB} = (3, 1, -1), \qquad \overrightarrow{AC} = (4, 3, -3)

Producto vectorial.

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 3 & 1 & -1 \\ 4 & 3 & -3 \end{vmatrix} = \big(1\cdot(-3) - (-1)\cdot 3,\; (-1)\cdot 4 - 3\cdot(-3),\; 3\cdot 3 - 1\cdot 4\big) = (0, 5, 5)

Área. La mitad de su módulo:

\text{Área} = \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right| = \frac{1}{2}\sqrt{0 + 25 + 25} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3{,}54\ \text{u}^2

c) Plano. Un normal es

(0, 5, 5)

, o el proporcional

\vec n = (0, 1, 1)

. El plano es

y + z + D = 0

y, por

B(2, 3, 5)

3 + 5 + D = 0

, así que

D = -8

\pi: y + z - 8 = 0

Comprobación.

A

2 + 6 = 8

✓;

C

5 + 3 = 8

✓.

Consejo

En a) lo importante es ver dónde está el ángulo recto: la hipotenusa es el lado opuesto, así que si es $AC$ , el ángulo recto está en $B$ . Si impones la perpendicularidad en $A$ o en $C$ sale otro valor de $\lambda$ y el apartado vale cero.

Al acabar c), sustituye los tres vértices en el plano: es un minuto y te asegura que el producto vectorial de b) también está bien.