Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Junio · Opción A

a) Matrices del sistema.$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -a & 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & -1 & 1 - a \\ -1 & 0 & 1 & 5 \\ -a & 1 & -1 & 1 \end{array}\right)$$Determinante de $A$. Desarrollando por la primera fila:$$|A| = 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -a & -1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -a & 1 \end{vmatrix} = -(1 + a) - (-1) = -a$$Discusión. $|A| = 0 \iff a = 0$. Para $a \neq 0$, $\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 3$, igual al número de incógnitas, y por Rouché-Frobenius el sistema es compatible determinado.

Caso $a = 0$ (lo necesitamos en c). El sistema queda$$\begin{cases} y - z = 1 \\ -x + z = 5 \\ y - z = 1 \end{cases}$$La tercera ecuación es igual a la primera. El menor $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ da $\operatorname{rg} A = 2$, y como la tercera fila de $A^*$ repite la primera, también $\operatorname{rg} A^* = 2 < 3$: compatible indeterminado. Nunca es incompatible.

b) Sistema con $a = 3$.$$\begin{cases} y - z = -2 \\ -x + z = 5 \\ -3x + y - z = 1 \end{cases}$$Restamos la primera a la tercera. Desaparecen $y$ y $z$:$$-3x = 1 - (-2) = 3 \;\Longrightarrow\; x = -1$$De la segunda, $z = 5 + x = 4$, y de la primera, $y = z - 2 = 2$.

Comprobación. $2 - 4 = -2$ ✓; $1 + 4 = 5$ ✓; $3 + 2 - 4 = 1$ ✓.

c) Sistema con $a = 0$. Nos quedan dos ecuaciones independientes:$$\begin{cases} y - z = 1 \\ -x + z = 5 \end{cases}$$Parámetro. Tomamos $z = \alpha$ y despejamos: $y = 1 + \alpha$, $x = \alpha - 5$.$$(x, y, z) = (\alpha - 5,\; \alpha + 1,\; \alpha), \qquad \alpha \in \mathbb{R}$$Comprobación en la ecuación que eliminamos ($-0\cdot x + y - z = 1$): $(\alpha + 1) - \alpha = 1$ ✓.