Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

Dentro de una cartulina rectangular se desea hacer un dibujo que ocupe un rectángulo

R

600\ \text{cm}^2

de área de manera que:

Por encima y por debajo de

R

deben quedar unos márgenes de 3 cm de altura cada uno. Los márgenes a izquierda y a derecha de

R

deben tener una anchura de 2 cm cada uno.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) El área de la cartulina en función de la base

x

del rectángulo

R

. (3 puntos)

b) El valor de

x

para el cual el área de la cartulina es mínima. (5 puntos)

c) Las dimensiones de dicha cartulina de área mínima. (2 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

S(x) = 624 + 6x + \dfrac{2400}{x} = 624 + 6\left(x + \dfrac{400}{x}\right)

cm², con

x > 0

.

b)

x = 20

cm.

c) La cartulina mide 24 cm de ancho por 36 cm de alto (área mínima: 864 cm²).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay dos rectángulos: el del dibujo,

R

, de área fija, y la cartulina, que es

R

más los márgenes.

Si la base de $R$ es $x$ , su altura sale del área: $600/x$ .
La cartulina mide 2 + 2 cm más de ancho y 3 + 3 cm más de alto que $R$ . Su área es el producto, y ya queda en función de $x$ solo.
Después, lo de siempre: derivar, igualar a cero y comprobar que es un mínimo.

Desarrollo

a) Altura del dibujo. Si

R

tiene base

x

y altura

h

, con

x\,h = 600

h = \frac{600}{x}

Medidas de la cartulina. Ancho

x + 4

(dos márgenes de 2 cm) y alto

\dfrac{600}{x} + 6

(dos márgenes de 3 cm).

Área de la cartulina.

S(x) = (x + 4)\left(\frac{600}{x} + 6\right) = 600 + 6x + \frac{2400}{x} + 24 = 624 + 6x + \frac{2400}{x}

o, sacando factor común,

S(x) = 624 + 6\left(x + \dfrac{400}{x}\right)

, con

x > 0

.

b) Derivada.

S'(x) = 6 - \frac{2400}{x^2}

Punto crítico.

S'(x) = 0 \;\Longrightarrow\; 6x^2 = 2400 \;\Longrightarrow\; x^2 = 400 \;\Longrightarrow\; x = 20 \quad (x > 0)

Es un mínimo.

S''(x) = \frac{4800}{x^3}, \qquad S''(20) = \frac{4800}{8000} = 0{,}6 > 0

También se ve por el signo:

S'(x) < 0

para

0 < x < 20

S'(x) > 0

para

x > 20

, así que

S

decrece y luego crece: en

x = 20

hay un mínimo, y es el absoluto en

(0, +\infty)

.

El área de la cartulina es mínima para

x = 20

cm.

c) Dimensiones. Con

x = 20

, la altura de

R

600/20 = 30

cm, y la cartulina mide

\text{ancho} = 20 + 4 = 24\ \text{cm}, \qquad \text{alto} = 30 + 6 = 36\ \text{cm}

Comprobación.

S(20) = 624 + 6\,(20 + 20) = 864\ \text{cm}^2 = 24 \cdot 36

✓.

Consejo

Haz un dibujo con los márgenes antes de escribir la función: el error típico es sumar un solo margen por lado (x + 2 en vez de x + 4).

Justifica siempre que el punto crítico es un mínimo (con la segunda derivada o con el signo de la primera): sin esa comprobación el apartado no está completo. Y en c) da las dos medidas de la cartulina, no las del dibujo.

Paso 1 de 3

¿Has terminado el problema?

¿Te atascas?Manda tu duda a tu profesor o al equipo, o pregunta a otros estudiantes en la comunidad.

Sigue practicando

Optimización

Ejercicio 1 (parte obligatoria). En un jardín botánico se desea crear un recinto floral con forma de triángulo…

Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 3 Optimización

Ejercicio 1 (parte obligatoria). Un jardinero quiere vallar un campo rectangular que tiene un lado junto a…

Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 4 Optimización

Ejercicio 1 (parte obligatoria). Una ventana tiene forma de rectángulo y está coronada por un semicírculo…

Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Junio Optimización

Aina quiere construir una caja de cartón con forma de prisma rectangular con tapa, para guardar la tableta y el…

Matemáticas II · Cataluña · 2026 · Septiembre

Apuntes y todos los problemas de Análisis →