Matemáticas IIFácil3,3333333333333335 pts

Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Julio · Opción B

También trata: Áreas, volúmenes y distancias
Comunitat Valenciana · 2018 · Julio · Opción B
Enunciado
Dada la recta r:{x+y=3x+4y−z=8r: \begin{cases} x + y = 3 \\ x + 4y - z = 8 \end{cases} se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) Las ecuaciones paramétricas de la recta rr. (3 puntos)

b) La ecuación del plano π\pi que es paralelo a rr y pasa por los puntos (5,0,1)(5, 0, 1) y (4,1,0)(4, 1, 0). (4 puntos)

c) La distancia entre la recta rr y el plano π\pi obtenido en el apartado anterior. (3 puntos)
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Resultado
a) x=αx = \alpha, y=3−αy = 3 - \alpha, z=4−3αz = 4 - 3\alpha, con α∈R\alpha \in \mathbb{R}.

b) π:x+y=5\pi: x + y = 5.

c) d(r,π)=2≈1,41d(r, \pi) = \sqrt{2} \approx 1{,}41 u.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

  • En a) la recta viene como corte de dos planos: resolvemos el sistema dejando una incógnita como parámetro.
  • En b) el plano queda fijado por un punto y dos direcciones: la de la recta rr (es paralelo a ella) y la del vector que une los dos puntos dados. Su normal es el producto vectorial de ambas.
  • En c), como rr es paralela a π\pi, todos sus puntos están a la misma distancia del plano: basta tomar un punto cualquiera de rr y calcular su distancia a π\pi.
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Desarrollo

a) Parámetro. Tomamos x=αx = \alpha. De la primera ecuación, y=3−αy = 3 - \alpha, y de la segunda:z=x+4y−8=α+4(3−α)−8=4−3αz = x + 4y - 8 = \alpha + 4(3 - \alpha) - 8 = 4 - 3\alphaParamétricas.r:{x=αy=3−αz=4−3αα∈Rr: \begin{cases} x = \alpha \\ y = 3 - \alpha \\ z = 4 - 3\alpha \end{cases} \qquad \alpha \in \mathbb{R}Un punto de rr es Pr=(0,3,4)P_r = (0, 3, 4) y su director, d⃗r=(1,−1,−3)\vec d_r = (1, -1, -3).

Comprobación. α+(3−α)=3\alpha + (3 - \alpha) = 3 ✓; α+4(3−α)−(4−3α)=8\alpha + 4(3 - \alpha) - (4 - 3\alpha) = 8 ✓.

b) Direcciones del plano. Con Q1=(5,0,1)Q_1 = (5, 0, 1) y Q2=(4,1,0)Q_2 = (4, 1, 0):Q1Q2→=(−1,1,−1),d⃗r=(1,−1,−3)\overrightarrow{Q_1Q_2} = (-1, 1, -1), \qquad \vec d_r = (1, -1, -3)Vector normal.Q1Q2→×d⃗r=∣i⃗j⃗k⃗−11−11−1−3∣=(1⋅(−3)−(−1)(−1),  (−1)⋅1−(−1)(−3),  (−1)(−1)−1⋅1)=(−4,−4,0)\overrightarrow{Q_1Q_2} \times \vec d_r = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -3 \end{vmatrix} = \big(1\cdot(-3) - (-1)(-1),\; (-1)\cdot 1 - (-1)(-3),\; (-1)(-1) - 1\cdot 1\big) = (-4, -4, 0)Tomamos el proporcional n⃗=(1,1,0)\vec n = (1, 1, 0).

Ecuación. x+y+D=0x + y + D = 0 y, por Q1Q_1: 5+0+D=05 + 0 + D = 0, así que D=−5D = -5:π:x+y=5\pi: x + y = 5Comprobación. Q2Q_2: 4+1=54 + 1 = 5 ✓; n⃗⋅d⃗r=1−1+0=0\vec n \cdot \vec d_r = 1 - 1 + 0 = 0 ✓ (paralelo a rr). Además Pr=(0,3,4)P_r = (0, 3, 4) da 0+3=3≠50 + 3 = 3 \neq 5: rr no está contenida en π\pi, es paralela a él.

c) Distancia. Como r∥πr \parallel \pi, la distancia de rr a π\pi es la de cualquier punto de rr, por ejemplo Pr=(0,3,4)P_r = (0, 3, 4):d(r,π)=d(Pr,π)=∣0+3−5∣12+12+02=22=2≈1,414 ud(r, \pi) = d(P_r, \pi) = \frac{|0 + 3 - 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1{,}414\ \text{u}
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Consejo

Antes de calcular la distancia de una recta a un plano, comprueba que son paralelos (director perpendicular al normal): solo entonces la distancia es la de un punto cualquiera. Si se cortaran, la distancia sería cero.

Las paramétricas pueden salirte con otro parámetro u otro punto y estar bien: compruébalas sustituyendo en las dos ecuaciones implícitas.
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