Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Julio · Opción B

a) $A^2 = A$. Sustituimos la primera $A$ por $AB$ y agrupamos con la asociativa:$$A^2 = A\cdot A = (AB)\,A = A\,(BA) = A\,B = A$$En el tercer paso hemos usado $BA = B$ y en el último, $AB = A$.

$B^2 = B$. Igual, cambiando los papeles de $A$ y $B$:$$B^2 = B\cdot B = (BA)\,B = B\,(AB) = B\,A = B$$b) Potencia de $B$.$$B^2 = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 1 & b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & 0 \\ 1 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 & 0 \\ a + b & b^2 \end{bmatrix}$$Condición $B^2 = B$. Igualando término a término:$$a^2 = a, \qquad a + b = 1, \qquad b^2 = b$$De la primera, $a = 0$ o $a = 1$; con $a + b = 1$ salen dos parejas: $(a, b) = (1, 0)$ o $(a, b) = (0, 1)$, y las dos cumplen $b^2 = b$.

Productos con $A$.$$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & 0 \\ 1 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \qquad BA = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 1 & b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$$AB = A$ exactamente cuando $a = 1$, y $BA = B$ exactamente cuando $b = 0$.

Descartar. La pareja $(1, 0)$ da $AB = A$ (y también $BA = B$), así que no vale. La pareja $(0, 1)$ da $AB = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \neq A$ y $BA = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \neq B$: cumple todo.$$a = 0, \qquad b = 1, \qquad B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$Comprobación. $B^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 + 1 & 1 \end{bmatrix} = B$ ✓.

c) Primer determinante. La primera columna está multiplicada por 2, y un factor común de una columna sale fuera:$$\begin{vmatrix} 2x & 1 & 0 \\ 2y & 2 & 1 \\ 2z & 3 & 2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} x & 1 & 0 \\ y & 2 & 1 \\ z & 3 & 2 \end{vmatrix} = 2\cdot 3 = 6$$Segundo determinante. La primera columna es la suma de $(x, y, z)$ y $(1, 3, 5)$, así que el determinante se separa en dos:$$\begin{vmatrix} x + 1 & 1 & 0 \\ y + 3 & 2 & 1 \\ z + 5 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & 1 & 0 \\ y & 2 & 1 \\ z & 3 & 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 3 + \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & 2 \end{vmatrix}$$El segundo sumando vale cero. Su primera columna es la suma de las otras dos: $(1, 3, 5) = (1, 2, 3) + (0, 1, 2)$. Un determinante con una columna combinación lineal de las demás es nulo. (Desarrollando: $1\cdot(4 - 3) - 1\cdot(6 - 5) + 0 = 0$ ✓.)$$\begin{vmatrix} x + 1 & 1 & 0 \\ y + 3 & 2 & 1 \\ z + 5 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 3 + 0 = 3$$