Matemáticas IIMedio3,3333333333333335 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Julio · Opción A

También trata: Integrales

Enunciado

Consideramos la función

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx\cos(\pi x)

, que depende de los parámetros

a, b, c

. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La relación entre los coeficientes

a, b, c

sabiendo que

f(x)

toma el valor 22 cuando

x = 1

. (2 puntos)

b) La relación que deben verificar los coeficientes

a

b

c

para que sea horizontal la recta tangente a la curva

y = f(x)

en el punto

P

de dicha curva, sabiendo que la abscisa del punto

P

x = 1

. (4 puntos)

c)

\displaystyle\int_0^1 x\cos(\pi x)\, dx

(4 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a + b - c = 22

.

b)

f'(1) = 0

3a + 2b - c = 0

.

c)

\displaystyle\int_0^1 x\cos(\pi x)\,dx = -\frac{2}{\pi^2} \approx -0{,}203

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Son tres preguntas casi independientes:

en a) basta sustituir $x = 1$ y recordar que $\cos\pi = -1$ ;
en b), «tangente horizontal» quiere decir pendiente cero, es decir, $f'(1) = 0$ . Hay que derivar con cuidado el último término, que es un producto ( $x$ por $\cos(\pi x)$ ) con una regla de la cadena dentro;
en c) la integral es la típica por partes: derivamos la $x$ (que desaparece) e integramos el coseno.

Desarrollo

a) Valor en $x = 1$ . Como

\cos\pi = -1

f(1) = a + b + c\cdot 1\cdot\cos\pi = a + b - c

La condición

f(1) = 22

a + b - c = 22

b) Derivada. El término

cx\cos(\pi x)

se deriva como producto, y

\cos(\pi x)

con la regla de la cadena:

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\big[\cos(\pi x) - \pi x\,\operatorname{sen}(\pi x)\big]

Pendiente en $x = 1$ . Con

\cos\pi = -1

\operatorname{sen}\pi = 0

f'(1) = 3a + 2b + c\,(-1 - 0) = 3a + 2b - c

Tangente horizontal. La pendiente de la tangente en

P

f'(1)

, y es horizontal si vale cero:

3a + 2b - c = 0

c) Por partes. Tomamos

u = x \;\Rightarrow\; du = dx, \qquad dv = \cos(\pi x)\,dx \;\Rightarrow\; v = \frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{\pi}

\int x\cos(\pi x)\,dx = \frac{x\,\operatorname{sen}(\pi x)}{\pi} - \int \frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{\pi}\,dx = \frac{x\,\operatorname{sen}(\pi x)}{\pi} + \frac{\cos(\pi x)}{\pi^2} + C

Comprobación de la primitiva. Derivando

F(x) = \dfrac{x\operatorname{sen}(\pi x)}{\pi} + \dfrac{\cos(\pi x)}{\pi^2}

F'(x) = \frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{\pi} + x\cos(\pi x) - \frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{\pi} = x\cos(\pi x)

Sale el integrando ✓.

Regla de Barrow.

\int_0^1 x\cos(\pi x)\,dx = F(1) - F(0) = \left(0 + \frac{\cos\pi}{\pi^2}\right) - \left(0 + \frac{\cos 0}{\pi^2}\right) = \frac{-1 - 1}{\pi^2} = -\frac{2}{\pi^2} \approx -0{,}203

Sale negativa porque en

(\tfrac12, 1)

el coseno es negativo y allí

x

pesa más que en

(0, \tfrac12)

Consejo

El fallo típico de b) es derivar $cx\cos(\pi x)$ como si fuera $c\cos(\pi x)$ o olvidar el factor $\pi$ de la regla de la cadena. Aquí ese término se anula en $x = 1$ porque $\operatorname{sen}\pi = 0$ , pero escríbelo: el corrector puntúa la derivada completa.

En c), comprueba la primitiva derivándola antes de aplicar Barrow, y no te preocupes si el resultado es negativo: es una integral, no un área.