Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Julio · Opción A

Paramétricas de $s$. De $x = 2y$ y $z = 0$, tomando $y = t$:$$s: (x, y, z) = (2t,\, t,\, 0), \qquad \vec d_s = (2, 1, 0)$$El normal de $\pi$ es $\vec n = (1, -1, 1)$.

a) Punto genérico de $s$. $P = (2t, t, 0)$ y$$\overrightarrow{AP} = (2t - 1,\; t - 1,\; -1)$$Paralela a $\pi$. El director de la recta debe ser perpendicular a $\vec n$:$$\overrightarrow{AP} \cdot \vec n = (2t - 1) - (t - 1) + (-1) = t - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 1$$Así que $P = (2, 1, 0)$ y $\overrightarrow{AP} = (1, 0, -1)$.

Recta buscada. Por $A(1, 1, 1)$ con director $(1, 0, -1)$:$$\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 \\ z = 1 - \lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación. $(1, 0, -1)\cdot(1, -1, 1) = 1 - 1 = 0$ ✓, y $A$ no está en $\pi$ ($1 - 1 + 1 - 3 = -2 \neq 0$), así que la recta es paralela a $\pi$ y no está contenida en él.

b) Dos direcciones del plano. Perpendicular a $\pi$: contiene la dirección $\vec n = (1, -1, 1)$. Paralelo a $s$: contiene $\vec d_s = (2, 1, 0)$.

Vector normal del plano.$$\vec n \times \vec d_s = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \big((-1)\cdot 0 - 1\cdot 1,\; 1\cdot 2 - 1\cdot 0,\; 1\cdot 1 - (-1)\cdot 2\big) = (-1, 2, 3)$$Ecuación. $-x + 2y + 3z + D = 0$ y, por $A$: $-1 + 2 + 3 + D = 0$, es decir, $D = -4$:$$-x + 2y + 3z = 4$$Comprobación. $(-1, 2, 3)\cdot(1, -1, 1) = -1 - 2 + 3 = 0$ ✓ (perpendicular a $\pi$) y $(-1, 2, 3)\cdot(2, 1, 0) = -2 + 2 = 0$ ✓ (paralelo a $s$).

c) Recta paralela a $s$ por $Q(5, 3, 1)$. Con el mismo director $(2, 1, 0)$:$$r': (x, y, z) = (5 + 2\mu,\; 3 + \mu,\; 1)$$¿Está $(3, 2, 1)$? Igualando coordenadas:$$5 + 2\mu = 3 \Rightarrow \mu = -1, \qquad 3 + \mu = 2 \Rightarrow \mu = -1, \qquad 1 = 1$$El mismo valor $\mu = -1$ cumple las tres: el punto sí está en la recta.

Otra forma. El vector de $(5, 3, 1)$ a $(3, 2, 1)$ es $(-2, -1, 0) = -(2, 1, 0)$, proporcional al director de $s$: la recta que pasa por los dos puntos es paralela a $s$, es decir, es esa misma recta.