Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Julio · Opción A

a) Matrices del sistema.$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & a - 1 & 1 \\ 1 & a & a - 1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & a - 1 & 1 & 0 \\ 1 & a & a - 1 & a \end{array}\right)$$Determinante de $A$. Desarrollando por la primera fila:$$|A| = 1 \cdot \begin{vmatrix} a - 1 & 1 \\ a & a - 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & a - 1 \end{vmatrix} + 0 = \big[(a - 1)^2 - a\big] - (0 - 1) = a^2 - 3a + 2$$$$|A| = a^2 - 3a + 2 = (a - 1)(a - 2)$$Caso $a \neq 1$ y $a \neq 2$. $|A| \neq 0$, así que $\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 3$, igual al número de incógnitas: compatible determinado.

Caso $a = 1$. El sistema queda$$\begin{cases} x + y = 1 \\ z = 0 \\ x + y = 1 \end{cases}$$La tercera ecuación es igual que la primera. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ (columnas de $x$ y $z$, filas 1 y 2) da $\operatorname{rg} A = 2$, y como la tercera fila de $A^*$ repite la primera, también $\operatorname{rg} A^* = 2 < 3$: compatible indeterminado.

Caso $a = 2$. El sistema queda$$\begin{cases} x + y = 1 \\ y + z = 0 \\ x + 2y + z = 2 \end{cases}$$Sumando las dos primeras ecuaciones se obtiene $x + 2y + z = 1$, que contradice la tercera ($= 2$). En rangos: la tercera fila de $A$ es la suma de las dos primeras, así que $\operatorname{rg} A = 2$; en cambio, en $A^*$$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 1\cdot(2 - 0) - 1\cdot(0 - 0) + 1\cdot(0 - 1) = 1 \neq 0$$(columnas de $x$, $y$ y términos independientes), luego $\operatorname{rg} A^* = 3 \neq \operatorname{rg} A$: incompatible.

Conclusión. El sistema es compatible para todo $a \neq 2$ (determinado si además $a \neq 1$, indeterminado si $a = 1$).

b) Solución para $a = 1$. Del caso anterior quedan dos ecuaciones: $x + y = 1$ y $z = 0$. Tomamos $x = \lambda$ como parámetro:$$x = \lambda, \qquad y = 1 - \lambda, \qquad z = 0, \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación. Tercera ecuación: $\lambda + (1 - \lambda) + 0 = 1 = a$ ✓.

c) Solución para $a = 0$. El sistema queda$$\begin{cases} x + y = 1 \\ -y + z = 0 \\ x - z = 0 \end{cases}$$De la segunda, $z = y$; de la tercera, $x = z = y$. Sustituyendo en la primera: $2y = 1$, así que $y = \tfrac{1}{2}$ y$$x = y = z = \frac{1}{2}$$Comprobación. $\tfrac12 + \tfrac12 = 1$ ✓; $-\tfrac12 + \tfrac12 = 0$ ✓; $\tfrac12 - \tfrac12 = 0 = a$ ✓.