Si llamamos P a la suma de todos los números pares menores que 1001 y T a la suma de todos los múltiplos de 3 menores que 1001, ¿cuánto vale P - T?

P = 250\,500, T = 166\,833 y P - T = 83\,667

Matemáticas IIFácil2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Límites y continuidadSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

Si llamamos

P

a la suma de todos los números pares menores que

1001

T

a la suma de todos los múltiplos de

3

menores que

1001

, ¿cuánto vale

P - T

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Resultado

P = 250\,500

T = 166\,833

P - T = 83\,667

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Estrategia

Las dos sumas son de progresiones aritméticas: los pares van de 2 en 2 y los múltiplos de 3, de 3 en 3. La suma de los

n

primeros términos de una progresión aritmética es

S_n = \frac{(a_1 + a_n)\,n}{2}

(el truco de Gauss: el primero más el último suma lo mismo que el segundo más el penúltimo, y así sucesivamente). Hay que identificar el primer término, el último menor que 1001 y cuántos términos hay.

Desarrollo

Suma de los pares, $P$ . Los pares menores que 1001 son

2, 4, 6, \ldots, 1000

: el término general es

a_k = 2k

y el último,

1000 = 2\cdot 500

, así que hay

n = 500

términos.

P = \frac{(2 + 1000)\cdot 500}{2} = 1002\cdot 250 = 250\,500

Suma de los múltiplos de 3, $T$ . Son

3, 6, 9, \ldots, 999

(

999 = 3\cdot 333

es el último menor que 1001, porque

1002 > 1001

): hay

n = 333

términos.

T = \frac{(3 + 999)\cdot 333}{2} = 501\cdot 333 = 166\,833

Diferencia.

P - T = 250\,500 - 166\,833 = 83\,667

Comprobación con otra forma de sumar.

P = 2(1 + 2 + \cdots + 500) = 2\cdot\frac{500\cdot 501}{2} = 250\,500

✓ y

T = 3(1 + 2 + \cdots + 333) = 3\cdot\frac{333\cdot 334}{2} = 3\cdot 55\,611 = 166\,833

✓.

Consejo

El criterio pide razonar el método: no basta con dar los números, escribe la fórmula de la suma de una progresión aritmética (o el truco de sacar factor común: $2(1 + \cdots + 500)$ ) y di cuántos términos hay. Ahí es donde se falla: cuenta bien el último término (1000 para los pares, 999 para los múltiplos de 3) y el número de términos.