Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

Representar el recinto del plano limitado por las curvas

y = e^x

y = e^{-x}

y por la recta

x = 1

. Calcular su área.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

El recinto está entre

x = 0

x = 1

, con

y = e^x

por arriba e

y = e^{-x}

por abajo, y su área es

\text{Área} = e + \frac{1}{e} - 2 \approx 1{,}086 \ \text{u}^2

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Son dos exponenciales simétricas respecto del eje

OY

que se cortan en

(0, 1)

. El recinto queda encerrado entre ese punto de corte y la recta vertical

x = 1

. Hay que saber qué curva va por encima en

[0, 1]

(la creciente,

e^x

) y aplicar la regla de Barrow a la diferencia.

Desarrollo

Punto de corte de las curvas.

e^x = e^{-x} \;\Longleftrightarrow\; e^{2x} = 1 \;\Longleftrightarrow\; x = 0, \qquad y = e^0 = 1

Se cortan en

(0, 1)

. El recinto va, por tanto, de

x = 0

x = 1

.

Representación. En unos ejes cartesianos se dibujan:

$y = e^x$ : creciente, pasa por $(0, 1)$ y por $(1, e) \approx (1;\ 2{,}72)$ , y se acerca al eje $OX$ por la izquierda.
$y = e^{-x}$ : su simétrica respecto del eje $OY$ ; decreciente, pasa por $(0, 1)$ y por $(1, 1/e) \approx (1;\ 0{,}37)$ .
La recta vertical $x = 1$ .

El recinto es la región con forma de triángulo curvilíneo con vértices en

(0, 1)

(1, e)

(1, 1/e)

: por arriba la limita

y = e^x

, por abajo

y = e^{-x}

y por la derecha el segmento de

x = 1

entre

1/e

e

.

Qué curva va por encima. Para

0 < x \leq 1

x > -x

y la exponencial es creciente, así que

e^x > e^{-x}

(por ejemplo, en

x = 1

2{,}72 > 0{,}37

).

Área.

\text{Área} = \int_0^1 \left(e^x - e^{-x}\right)dx = \Big[e^x + e^{-x}\Big]_0^1 = \left(e + \frac{1}{e}\right) - (1 + 1) = e + \frac{1}{e} - 2

(Una primitiva de

-e^{-x}

e^{-x}

, porque la derivada de

e^{-x}

-e^{-x}

.)

Valor aproximado.

e + \frac{1}{e} - 2 \approx 2{,}7183 + 0{,}3679 - 2 = 1{,}0862 \ \text{u}^2

Consejo

El dibujo vale la mitad de la nota: marca el punto de corte $(0, 1)$ , los valores en $x = 1$ ( $e$ y $1/e$ ) y sombrea la región. El error típico es integrar entre $-1$ y $1$ o de $-\infty$ a $1$ : la recta $x = 1$ cierra el recinto por la derecha y el corte de las dos curvas lo cierra por la izquierda. Ojo con el signo de la primitiva de $e^{-x}$ .