Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Junio · Opción B

Dominio. $x^2 - 4 = 0 \iff x = \pm 2$, así que $\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R}\setminus\{-2, 2\}$. La función es par ($f(-x) = f(x)$): su gráfica es simétrica respecto del eje $OY$.

a) Asíntotas verticales. En $x = 2$ el numerador vale $4 - 3 = 1 \neq 0$, y lo mismo en $x = -2$, así que los límites son infinitos:$$\lim_{x\to 2^-} f(x) = \frac{1}{0^-} = -\infty, \qquad \lim_{x\to 2^+} f(x) = \frac{1}{0^+} = +\infty$$$$\lim_{x\to -2^-} f(x) = \frac{1}{0^+} = +\infty, \qquad \lim_{x\to -2^+} f(x) = \frac{1}{0^-} = -\infty$$Asíntotas verticales: $x = 2$ y $x = -2$.

Asíntota horizontal.$$\lim_{x\to\pm\infty} \frac{x^2 - 3}{x^2 - 4} = 1$$Asíntota horizontal: $y = 1$ (en $+\infty$ y en $-\infty$). Como $f(x) - 1 = \frac{1}{x^2 - 4} > 0$ para $|x| > 2$, la gráfica se acerca a ella por encima.

Asíntotas oblicuas. No tiene: ya tiene horizontal en los dos sentidos.

b) Derivada (regla del cociente):$$f'(x) = \frac{2x(x^2 - 4) - 2x(x^2 - 3)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x\big[(x^2 - 4) - (x^2 - 3)\big]}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-2x}{(x^2 - 4)^2}$$Signo de $f'$. El denominador es un cuadrado, positivo en todo el dominio, así que el signo de $f'$ es el de $-2x$:

• Creciente en $(-\infty, -2)\cup(-2, 0)$.
• Decreciente en $(0, 2)\cup(2, +\infty)$.

c) Extremos. El único punto crítico es $x = 0$ ($f'(0) = 0$), y en él $f'$ pasa de positiva a negativa: hay un máximo relativo.$$f(0) = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4} \qquad\Longrightarrow\qquad \text{máximo relativo en } \left(0, \tfrac{3}{4}\right)$$En $x = \pm 2$ también cambia el comportamiento, pero no hay extremos porque no están en el dominio (son asíntotas). No es un máximo absoluto: cerca de $x = 2$ por la derecha la función toma valores tan grandes como se quiera.