Matemáticas IIFácil2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

Hallar la ecuación del plano que contiene al punto

P(2, -1, 2)

y a la recta

r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 1}{-1}.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\pi: 3x + 4y + 10z = 22

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

De la ecuación continua de

r

se leen un punto,

A(0, 3, 1)

, y un vector director,

\vec v = (2, 1, -1)

. El plano tiene que contener a la recta y a

P

, así que contiene dos direcciones: la de la recta,

\vec v

, y la que va de un punto de la recta a

P

\overrightarrow{AP}

. Su producto vectorial da el vector normal del plano.

Antes hay que comprobar que

P

no está en

r

: si estuviera, habría infinitos planos.

Desarrollo

Punto y director de $r$ . De

\dfrac{x - 0}{2} = \dfrac{y - 3}{1} = \dfrac{z - 1}{-1}

A(0, 3, 1), \qquad \vec v = (2, 1, -1)

$P$ no está en $r$ . Sustituyendo

P(2, -1, 2)

\frac{2}{2} = 1

, pero

\frac{-1 - 3}{1} = -4

. No son iguales, así que

P \notin r

y el plano es único.

Segundo vector del plano.

\overrightarrow{AP} = (2, -1, 2) - (0, 3, 1) = (2, -4, 1)

Vector normal.

\vec n = \vec v \times \overrightarrow{AP} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & -4 & 1 \end{vmatrix} = \big(1\cdot 1 - (-1)(-4),\; (-1)\cdot 2 - 2\cdot 1,\; 2\cdot(-4) - 1\cdot 2\big) = (-3, -4, -10)

Tomamos el opuesto,

\vec n = (3, 4, 10)

.

Ecuación del plano.

3x + 4y + 10z + d = 0

y, como pasa por

P(2, -1, 2)

6 - 4 + 20 + d = 0 \;\Longrightarrow\; d = -22 \qquad\Longrightarrow\qquad \pi: 3x + 4y + 10z = 22

Comprobación.

$A(0, 3, 1)$ : $0 + 12 + 10 = 22$ ✓.
Otro punto de $r$ , con $t = 1$ en $(2t,\ 3 + t,\ 1 - t)$ : $B(2, 4, 0)$ : $6 + 16 + 0 = 22$ ✓.
$\vec n \cdot \vec v = 6 + 4 - 10 = 0$ ✓: la recta es paralela al plano y tiene un punto en él, así que está contenida.

Consejo

Hay varios caminos (el plano por tres puntos, $A$ , $B$ y $P$ , que es el que propone la solución oficial; o el determinante con $\overrightarrow{AX}$ , $\vec v$ y $\overrightarrow{AP}$ ) y todos valen. Lo que no puede faltar es leer bien el punto de la continua: $\frac{y-3}{1}$ da $y_0 = 3$ , no $-3$ . Y comprobar al final que dos puntos de la recta y $P$ cumplen la ecuación te asegura la nota.