Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Junio · Opción B

a) Matrices del sistema.$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & a+1 & -a \\ 1 & a & a+1 \end{pmatrix}, \qquad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & a+1 & -a & 2a \\ 1 & a & a+1 & 1 \end{array}\right)$$Determinante. Restando la fila 1 a las filas 2 y 3 (no cambia el determinante):$$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & a-1 & 1-a \\ 0 & a-2 & a+2 \end{vmatrix} = (a-1)(a+2) - (1-a)(a-2) = (a-1)\big[(a+2) + (a-2)\big] = 2a(a-1)$$Se anula para $a = 0$ y $a = 1$.

Caso $a \neq 0$ y $a \neq 1$. $|M| \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(M) = \operatorname{rg}(M^*) = 3 =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado.

Caso $a = 0$.$$M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$$$\operatorname{rg}(M) = 2$, porque $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$. Orlando ese menor con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - 2(1 - 0) + 2(0 - 1) = 1 - 2 - 2 = -3 \neq 0$$$\operatorname{rg}(M^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(M) = 2$: sistema incompatible.

Caso $a = 1$.$$M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right)$$Las dos primeras filas son iguales (también en la ampliada), así que sobra una ecuación. La primera y la tercera no son proporcionales: $\operatorname{rg}(M) = \operatorname{rg}(M^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado, con un parámetro.

Aunque no se pide, la solución sale enseguida: restando $x + 2y - z = 2$ a $x + y + 2z = 1$ queda $-y + 3z = -1$, es decir $y = 1 + 3\lambda$ con $z = \lambda$, y $x = 2 - 2y + z = -5\lambda$. Soluciones: $(x, y, z) = (-5\lambda,\ 1 + 3\lambda,\ \lambda)$.

b) Para $a = 2$. Como $2 \neq 0$ y $2 \neq 1$, el sistema es compatible determinado: sí hay solución, y es única.$$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ x + 3y - 2z = 4 \\ x + 2y + 3z = 1 \end{cases}$$Reducción. Llamando $E_1$, $E_2$ y $E_3$ a las ecuaciones, restamos la primera a las otras dos:$$E_3 - E_1: \ 4z = -1 \;\Longrightarrow\; z = -\frac{1}{4}$$$$E_2 - E_1: \ y - z = 2 \;\Longrightarrow\; y = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$$$$x = 2 - 2y + z = 2 - \frac{7}{2} - \frac{1}{4} = -\frac{7}{4}$$Comprobación en la segunda ecuación: $-\frac{7}{4} + 3\cdot\frac{7}{4} - 2\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{-7 + 21 + 2}{4} = \frac{16}{4} = 4$ ✓.