De todos los números positivos x e y tales que x + y = 10 encontrar aquellos para los que el producto P = x^2\,y sea máximo.

Los números son x = \dfrac{20}{3} e y = \dfrac{10}{3}, y el producto máximo vale P = \dfrac{4000}{27} \approx 148{,}15.

Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: OptimizaciónSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

De todos los números positivos

x

y

tales que

x + y = 10

encontrar aquellos para los que el producto

P = x^2\,y

sea máximo.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Los números son

x = \dfrac{20}{3}

y = \dfrac{10}{3}

, y el producto máximo vale

P = \dfrac{4000}{27} \approx 148{,}15

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un problema de optimización ya planteado: la función a maximizar es

P = x^2 y

y la ligadura,

x + y = 10

. Se despeja

y

de la ligadura, se sustituye para tener

P

en función de una sola variable y se busca el máximo con la derivada, sin olvidar que

x

y

tienen que ser positivos (eso fija el dominio

0 < x < 10

Desarrollo

Función de una variable. De

x + y = 10

y = 10 - x

. Como

x > 0

y > 0

0 < x < 10

P(x) = x^2(10 - x) = 10x^2 - x^3, \qquad 0 < x < 10

Puntos críticos.

P'(x) = 20x - 3x^2 = x(20 - 3x) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \ \text{ o } \ x = \frac{20}{3}

x = 0

no está en el dominio (los números tienen que ser positivos), así que el único candidato es

x = \frac{20}{3}

.

Es un máximo.

P''(x) = 20 - 6x

P''\!\left(\frac{20}{3}\right) = 20 - 40 = -20 < 0 \;\Longrightarrow\; \text{máximo relativo}

Además, en

(0, \tfrac{20}{3})

P' > 0

(

P

crece) y en

(\tfrac{20}{3}, 10)

P' < 0

(

P

decrece), así que el máximo es absoluto en el intervalo.

Los números.

x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67, \qquad y = 10 - \frac{20}{3} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33

El producto máximo.

P = \left(\frac{20}{3}\right)^2\cdot\frac{10}{3} = \frac{400}{9}\cdot\frac{10}{3} = \frac{4000}{27} \approx 148{,}15

Consejo

Da los dos números, no solo $x$ : el enunciado pide «aquellos» $x$ e $y$ . Justifica también que es un máximo (con la segunda derivada o con el signo de $P'$ ) y descarta $x = 0$ con el dato de que son positivos. El planteamiento ( $P(x) = 10x^2 - x^3$ ) vale la mitad de la nota: escríbelo claro antes de derivar.

Paso 1 de 3

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