Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

Calcular la siguiente integral indefinida:

\int \frac{2x - 1}{x(x + 1)^2}\,dx.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\int \frac{2x - 1}{x(x+1)^2}\,dx = -\ln|x| + \ln|x+1| - \frac{3}{x+1} + K = \ln\left|\frac{x+1}{x}\right| - \frac{3}{x+1} + K

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una integral racional con el grado del numerador (1) menor que el del denominador (3), así que no hace falta dividir: se descompone directamente en fracciones simples. El denominador ya está factorizado, con una raíz simple (

x = 0

) y una doble (

x = -1

). La raíz doble aporta dos fracciones, una con

(x+1)

y otra con

(x+1)^2

\frac{2x - 1}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}

Cada una de las tres se integra de forma inmediata: dos dan logaritmos y la última, una potencia.

Desarrollo

Descomposición. Quitando denominadores:

2x - 1 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx

Coeficientes, dando valores a $x$ .

$x = 0$ : $\ -1 = A \;\Longrightarrow\; A = -1$ .
$x = -1$ : $\ -3 = -C \;\Longrightarrow\; C = 3$ .
Coeficiente de $x^2$ (a la izquierda no hay): $0 = A + B \;\Longrightarrow\; B = 1$ .

\frac{2x - 1}{x(x+1)^2} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{3}{(x+1)^2}

Comprobación. Con denominador común, el numerador es

-(x+1)^2 + x(x+1) + 3x = -x^2 - 2x - 1 + x^2 + x + 3x = 2x - 1

✓.

Las tres integrales.

\int -\frac{1}{x}\,dx = -\ln|x|, \qquad \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1|, \qquad \int 3(x+1)^{-2}\,dx = 3\,\frac{(x+1)^{-1}}{-1} = -\frac{3}{x+1}

Resultado.

\int \frac{2x - 1}{x(x+1)^2}\,dx = -\ln|x| + \ln|x+1| - \frac{3}{x+1} + K = \ln\left|\frac{x+1}{x}\right| - \frac{3}{x+1} + K

Comprobación derivando.

\dfrac{d}{dx}\left(-\ln|x| + \ln|x+1| - \dfrac{3}{x+1}\right) = -\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1} + \dfrac{3}{(x+1)^2}

, que es la descomposición de arriba ✓.

Consejo

La mitad de la nota es la descomposición: con una raíz doble hay que poner dos fracciones, $\frac{B}{x+1}$ y $\frac{C}{(x+1)^2}$ ; si pones solo una, no hay forma de que cuadre. La otra mitad es integrar bien cada trozo: la de $(x+1)^{-2}$ no es un logaritmo, es una potencia. Y no te olvides de la constante ni de los valores absolutos.