Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Límites y continuidadSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

Sea

f

la función definida por:

f(x) = \begin{cases} 3 - a x^2, & x \leq 1 \\[4pt] \dfrac{2}{a x}, & x > 1. \end{cases}

Estudiar su continuidad y su derivabilidad en función de

a

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Resultado

$a = 0$ : la función no está definida para $x > 1$ .
$a = 1$ : continua y derivable en todo $\mathbb{R}$ .
$a = 2$ : continua en $\mathbb{R}$ , derivable en $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ (punto anguloso en $x = 1$ ).
Resto de valores ( $a \neq 0, 1, 2$ ): continua y derivable en $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ ; en $x = 1$ tiene un salto.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada trozo, por separado, no da problemas: el primero es un polinomio y el segundo,

\frac{2}{ax}

, solo se anula el denominador en

x = 0

, que no está en

x > 1

. Eso sí, con

a = 0

el segundo trozo no tiene sentido (se divide entre 0), así que hay que pedir

a \neq 0

.

Todo se decide en el punto de unión,

x = 1

Continuidad: los límites laterales tienen que coincidir con $f(1)$ .
Derivabilidad: hace falta ser continua y que coincidan las derivadas laterales.

Cuidado con la trampa: puede haber un valor de

a

que iguale las derivadas laterales pero no haga la función continua. Ese valor no da una función derivable.

Desarrollo

El caso $a = 0$ . Para

x > 1

quedaría

f(x) = \frac{2}{0}

, que no existe: con

a = 0

la función no está definida en

(1, +\infty)

. A partir de aquí,

a \neq 0

.

Fuera de $x = 1$ . En

(-\infty, 1)

f

es un polinomio: continua y derivable. En

(1, +\infty)

f(x) = \frac{2}{ax}

es un cociente con el denominador distinto de cero (

x > 1

): continua y derivable.

Continuidad en $x = 1$ .

f(1) = 3 - a, \qquad \lim_{x\to 1^-} f(x) = 3 - a, \qquad \lim_{x\to 1^+} f(x) = \frac{2}{a}

Es continua si y solo si

3 - a = \frac{2}{a} \;\Longleftrightarrow\; 3a - a^2 = 2 \;\Longleftrightarrow\; a^2 - 3a + 2 = 0 \;\Longleftrightarrow\; a = 1 \ \text{ o } \ a = 2

Derivadas laterales en $x = 1$ . Derivando cada trozo:

f'(x) = \begin{cases} -2a x, & x < 1 \\[4pt] -\dfrac{2}{a x^2}, & x > 1 \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad f'(1^-) = -2a, \quad f'(1^+) = -\frac{2}{a}

(Calcular así las derivadas laterales como límites de

f'

es válido cuando la función es continua en

x = 1

, que es el único caso en el que tiene sentido preguntarse por la derivabilidad.) Coinciden si

-2a = -\frac{2}{a} \;\Longleftrightarrow\; a^2 = 1 \;\Longleftrightarrow\; a = 1 \ \text{ o } \ a = -1

Juntando las dos condiciones.

$a = 1$ : continua ( $3 - 1 = 2 = \frac{2}{1}$ ) y $f'(1^-) = -2 = f'(1^+)$ . Derivable en $x = 1$ .
$a = 2$ : continua ( $3 - 2 = 1 = \frac{2}{2}$ ), pero $f'(1^-) = -4 \neq -1 = f'(1^+)$ : tiene un punto anguloso, no derivable en $x = 1$ .
$a = -1$ : las derivadas laterales serían iguales ( $2$ y $2$ ), pero $f(1) = 4$ y $\lim_{x\to1^+} f(x) = -2$ : no es continua, luego tampoco derivable.
Cualquier otro $a \neq 0$ : salto finito en $x = 1$ , ni continua ni derivable allí.

Consejo

El error clásico es dar $a = \pm 1$ como respuesta a la derivabilidad sin mirar la continuidad: con $a = -1$ las derivadas laterales coinciden, pero la función da un salto en $x = 1$ y no puede ser derivable. Escribe siempre «derivable ⟹ continua» y cruza las dos condiciones. No olvides tampoco el caso $a = 0$ , que deja sin definir el segundo trozo.