Matemáticas IIFácil2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

Dados los puntos

A(3, 3, 3)

B(2, 3, 4)

C(0, 0, 4)

D(3, 0, 1)

.

a) ¿Están en el mismo plano? En caso afirmativo hallar la ecuación del plano. En caso negativo razonar la respuesta.

b) Calcular

a

para que el punto

P(a, a, 8)

esté en la recta que pasa por los puntos

A

C

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Sí, los cuatro puntos son coplanarios: están en el plano

3x - 2y + 3z = 12

.

b)

a = -12

, es decir,

P(-12, -12, 8)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) lo más directo es construir el plano que pasa por tres de los puntos (

A

B

C

) y comprobar si el cuarto lo cumple. Si lo cumple, los cuatro son coplanarios y ese es el plano; si no, no lo son. (Otra forma equivalente: el producto mixto de

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

\overrightarrow{AD}

vale 0 si y solo si son coplanarios.)

En b) se escribe la recta

AC

en paramétricas y se impone que

P

sea uno de sus puntos: salen tres ecuaciones con dos incógnitas (

a

y el parámetro), que tienen que ser compatibles.

Desarrollo

a) Vectores con origen en $A$ .

\overrightarrow{AB} = (2, 3, 4) - (3, 3, 3) = (-1, 0, 1), \qquad \overrightarrow{AC} = (0, 0, 4) - (3, 3, 3) = (-3, -3, 1)

No son proporcionales, así que

A

B

C

no están alineados y determinan un plano.

Vector normal.

\vec n = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 0 & 1 \\ -3 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \big(0\cdot 1 - 1\cdot(-3),\; 1\cdot(-3) - (-1)\cdot 1,\; (-1)(-3) - 0\cdot(-3)\big) = (3, -2, 3)

Plano por $A$ , $B$ y $C$ .

3x - 2y + 3z + d = 0

y, como pasa por

A(3, 3, 3)

9 - 6 + 9 + d = 0 \Rightarrow d = -12

\pi: 3x - 2y + 3z = 12

Comprobamos con los otros dos puntos:

B

6 - 6 + 12 = 12

✓;

C

0 - 0 + 12 = 12

✓.

¿Está $D$ en el plano?

D(3, 0, 1)

3\cdot 3 - 2\cdot 0 + 3\cdot 1 = 9 + 3 = 12

✓.

Sí: los cuatro puntos están en el mismo plano,

3x - 2y + 3z = 12

.

b) Recta que pasa por $A$ y $C$ . Con el punto

C(0, 0, 4)

y el director

\overrightarrow{AC} = (-3, -3, 1)

r_{AC}: \begin{cases} x = -3t \\ y = -3t \\ z = 4 + t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}

$P(a, a, 8)$ en la recta. Tiene que existir un

t

con

-3t = a, \qquad -3t = a, \qquad 4 + t = 8

La tercera da

t = 4

y entonces

a = -3\cdot 4 = -12

. Las dos primeras ecuaciones son la misma, así que el sistema es compatible.

Comprobación.

P(-12, -12, 8)

\overrightarrow{CP} = (-12, -12, 4) = 4\,(-3, -3, 1) = 4\,\overrightarrow{AC}

✓.

Consejo

Hallar el plano con tres puntos y sustituir el cuarto es lo que pide el corrector para el primer punto: no basta con decir «sí, son coplanarios», hay que comprobarlo con $D$ . En b), fíjate en que las coordenadas $x$ e $y$ de $P$ son iguales: eso solo es posible porque las de la recta también lo son ( $-3t$ y $-3t$ ). Si no lo fueran, no habría ningún $a$ .