Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

Calcula el rango de la siguiente matriz según los valores de

a

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & a & 4 & 0 \\ -1 & 3 & a & -2 \end{pmatrix}

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Resultado

Si $a = 2$ o $a = -6$ : $\operatorname{rg}(A) = 2$ .
Si $a \neq 2$ y $a \neq -6$ : $\operatorname{rg}(A) = 3$ .

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La matriz es

3\times 4

, así que su rango es como mucho 3. Lo primero es ver si hay un menor de orden 2 distinto de cero (lo hay y no depende de

a

), con lo que el rango es al menos 2.

Para saber si llega a 3 hay que mirar los menores de orden 3. Hay cuatro (se eligen 3 columnas de 4), pero antes de lanzarse a calcularlos conviene mirar las columnas: la cuarta,

(2, 0, -2)

, es el doble de la primera,

(1, 0, -1)

. Por eso todo menor que contenga las columnas 1 y 4 vale 0, y el que lleva las columnas 2, 3 y 4 es proporcional al de las columnas 1, 2 y 3. Basta con estudiar uno.

Desarrollo

Rango al menos 2. El menor formado por las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 3 no depende de

a

\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 4 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}(A) \geq 2 \text{ para todo } a

Una observación que ahorra cuentas. Si llamamos

C_1, C_2, C_3, C_4

a las columnas,

C_4 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = 2\,C_1

Así que

C_4

no aporta nada al rango:

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(C_1, C_2, C_3)

.

Los cuatro menores de orden 3. El de las columnas 1, 2 y 3, por Sarrus:

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & a & 4 \\ -1 & 3 & a \end{vmatrix} = a^2 + 0 + 0 - (-4a) - 12 - 0 = a^2 + 4a - 12

Los otros tres, sin necesidad de desarrollarlos:

$|C_1\ C_2\ C_4| = |C_1\ C_2\ 2C_1| = 0$ y $|C_1\ C_3\ C_4| = 0$ : tienen dos columnas proporcionales.
$|C_2\ C_3\ C_4| = |C_2\ C_3\ 2C_1| = 2\,|C_1\ C_2\ C_3| = 2(a^2 + 4a - 12)$ (sacar el 2 y llevar $C_1$ delante con dos cambios de columna, que no alteran el signo).

¿Cuándo se anulan todos?

a^2 + 4a - 12 = 0 \;\Longrightarrow\; a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2} \;\Longrightarrow\; a = 2 \ \text{ o } \ a = -6

Discusión.

Si $a \neq 2$ y $a \neq -6$ , hay un menor de orden 3 no nulo: $\operatorname{rg}(A) = 3$ .
Si $a = 2$ o $a = -6$ , los cuatro menores de orden 3 valen 0 y hay un menor de orden 2 no nulo: $\operatorname{rg}(A) = 2$ .

Comprobación con $a = 2$ . La fila 3,

(-1, 3, 2, -2)

, debería ser combinación de las otras dos:

\alpha(1, 0, 4, 2) + \beta(0, 2, 4, 0)

con

\alpha = -1

\beta = \tfrac{3}{2}

(-1, 3, -4 + 6, -2) = (-1, 3, 2, -2)

✓.

Consejo

El corrector da 1,5 puntos a calcular los determinantes y 0,5 a cerrar la discusión: no te quedes en « $a = 2$ o $a = -6$ », escribe el rango en cada caso. Y antes de calcular cuatro determinantes de orden 3, mira si alguna columna es proporcional a otra: aquí $C_4 = 2C_1$ te ahorra tres de ellos (y justificarlo así vale lo mismo que hacer las cuentas).