Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Julio · Opción B

Juntar las potencias. Como los exponentes son iguales:$$P = 2018^{2018}\cdot 3^{2018} = (2018\cdot 3)^{2018} = 6054^{2018}.$$Solo cuenta la cifra de las unidades. Al multiplicar dos números, la cifra de las unidades del resultado es la de las unidades del producto de sus cifras de las unidades. Por eso $6054^{2018}$ termina en la misma cifra que $4^{2018}$.

Ciclo de las potencias de 4.$$4^1 = 4, \quad 4^2 = 16, \quad 4^3 = 64, \quad 4^4 = 256, \quad 4^5 = 1024, \ \dots$$Las últimas cifras van $4, 6, 4, 6, \dots$: ciclo de longitud 2. Los exponentes impares terminan en 4 y los pares en 6. Se ve también sin la lista: $4\cdot 4 = 16$ acaba en 6 y $6\cdot 4 = 24$ vuelve a acabar en 4.

Exponente 2018. Es par, así que $4^{2018}$ termina en 6.

Comprobación por otro camino. Por separado: $2018^{2018}$ termina como $8^{2018}$; las potencias de 8 acaban en $8, 4, 2, 6$ (ciclo de 4) y $2018 = 4\cdot 504 + 2$, así que en 4. Las de 3 acaban en $3, 9, 7, 1$ y con resto 2 acaban en 9. El producto termina como $4\cdot 9 = 36$: en 6 ✓.