Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Julio · Opción B

Puntos de corte.$$4x^2 = 4x - x^2 \;\Longrightarrow\; 5x^2 - 4x = 0 \;\Longrightarrow\; x(5x - 4) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0,\quad x = \tfrac{4}{5}.$$Los puntos son $(0, 0)$ y $\left(\tfrac45, \tfrac{64}{25}\right)$, porque $4\cdot\tfrac{16}{25} = \tfrac{64}{25} = 2{,}56$.

Dibujo del recinto. La parábola $y = 4x^2$ es estrecha, abierta hacia arriba y con vértice en el origen; pasa por $(\pm 1, 4)$. La parábola $y = 4x - x^2 = x(4 - x)$ abre hacia abajo, corta al eje $OX$ en $x = 0$ y $x = 4$ y tiene el vértice en $(2, 4)$. Las dos salen del origen; la segunda sube más deprisa al principio y vuelven a cortarse en $\left(\tfrac45;\ 2{,}56\right)$. El recinto finito es la estrecha «lente» entre $x = 0$ y $x = \tfrac45$, con la parábola $y = 4x - x^2$ por arriba y $y = 4x^2$ por abajo.

¿Cuál va por encima? En un punto intermedio, $x = \tfrac12$: $4x - x^2 = 1{,}75$ y $4x^2 = 1$. Por arriba va $y = 4x - x^2$.

Área.$$\text{Área} = \int_0^{4/5}\Big[(4x - x^2) - 4x^2\Big]dx = \int_0^{4/5}\left(4x - 5x^2\right)dx = \left[2x^2 - \frac{5x^3}{3}\right]_0^{4/5}.$$Aplicando Barrow:$$2\cdot\frac{16}{25} - \frac{5}{3}\cdot\frac{64}{125} = \frac{32}{25} - \frac{64}{75} = \frac{96 - 64}{75} = \frac{32}{75}.$$