Matemáticas IIFácil2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

De la función

f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C

se sabe que su gráfica pasa por el punto

(1, 0)

y que tiene un extremo en

x = 0

de valor

1

.

a) Hallar

A

B

C

.

b) ¿El extremo situado en el punto

x = 0

es máximo o es mínimo?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

A = -2

B = 0

C = 1

f(x) = x^3 - 2x^2 + 1

.

b) Es un máximo relativo, en

(0, 1)

, porque

f''(0) = -4 < 0

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay tres incógnitas y el enunciado esconde tres condiciones; la clave es leerlas todas:

«Pasa por $(1, 0)$ »: $f(1) = 0$ .
«Extremo en $x = 0$ »: como $f$ es derivable, $f'(0) = 0$ .
«De valor 1»: el valor de la función en el extremo es 1, es decir, $f(0) = 1$ .

Para b), el criterio de la segunda derivada.

Desarrollo

a) Derivada.

f'(x) = 3x^2 + 2Ax + B

.

Extremo en $x = 0$ .

f'(0) = B = 0

.

Valor 1 en $x = 0$ .

f(0) = C = 1

.

Pasa por $(1, 0)$ .

f(1) = 1 + A + B + C = 0

; con

B = 0

C = 1

1 + A + 0 + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; A = -2.

La función es

f(x) = x^3 - 2x^2 + 1

.

Comprobación.

f(1) = 1 - 2 + 1 = 0

✓;

f(0) = 1

✓;

f'(x) = 3x^2 - 4x

f'(0) = 0

✓.

b) Segunda derivada.

f''(x) = 6x - 4

, así que

f''(0) = -4 < 0

: la función es cóncava hacia abajo en

x = 0

y el extremo es un máximo relativo, en el punto

(0, 1)

.

(También por el signo de

f'(x) = x(3x - 4)

: positiva justo a la izquierda de 0 y negativa entre 0 y

\tfrac43

, así que la función pasa de crecer a decrecer.)

Consejo

Lee con cuidado cada dato: «un extremo en $x = 0$ de valor 1» son dos condiciones ( $f'(0) = 0$ y $f(0) = 1$ ), y es fácil quedarse solo con una. Al final, comprueba que la función hallada cumple las tres: es inmediato y evita perder el apartado b) por arrastrar un error.