Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

Determinar el punto simétrico de

A(-3, 1, -7)

respecto a la recta

r

de ecuaciones paramétricas

\{x = -1 + t,\ y = 3 + 2t,\ z = -1 + 2t\}

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Resultado

El plano perpendicular a

r

por

A

x + 2y + 2z + 15 = 0

; corta a

r

M(-3, -1, -5)

, y el simétrico de

A

respecto de

r

A'(-3, -3, -3)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El simétrico de un punto respecto de una recta se obtiene en tres pasos:

El plano perpendicular a $r$ que pasa por $A$ : su normal es el director de $r$ .
Su corte con $r$ es la proyección ortogonal $M$ de $A$ sobre la recta, que es el punto medio entre $A$ y su simétrico.
El simétrico es $A' = 2M - A$ .

Desarrollo

Director de $r$ . De los coeficientes de

t

\vec v = (1, 2, 2)

.

Plano perpendicular a $r$ por $A$ . Con normal

\vec v

\pi:\ x + 2y + 2z + D = 0, \qquad \text{por } A(-3, 1, -7):\ -3 + 2 - 14 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = 15.

\pi:\ x + 2y + 2z + 15 = 0.

Punto medio $M = r \cap \pi$ . Sustituyendo la paramétrica de

r

(-1 + t) + 2(3 + 2t) + 2(-1 + 2t) + 15 = 0 \;\Longrightarrow\; 18 + 9t = 0 \;\Longrightarrow\; t = -2,

M = (-1 - 2,\ 3 - 4,\ -1 - 4) = (-3, -1, -5).

Simétrico.

A' = 2M - A

A' = \big(-6 + 3,\ -2 - 1,\ -10 + 7\big) = (-3, -3, -3).

Comprobación.

\overrightarrow{AA'} = (0, -4, 4)

\overrightarrow{AA'}\cdot\vec v = 0 - 8 + 8 = 0

✓ (es perpendicular a la recta), y el punto medio de

A

A'

\left(-3, -1, -5\right) = M

✓, que está en

r

con

t = -2

Consejo

No confundas el simétrico respecto de una recta (se usa el plano perpendicular a la recta por el punto) con el simétrico respecto de un plano (se usa la recta perpendicular al plano por el punto). En los dos casos el punto de corte es solo el punto medio: falta el paso $A' = 2M - A$ . La comprobación $\overrightarrow{AA'}\cdot\vec v = 0$ detecta casi cualquier error.