Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Julio · Opción A

Enunciado

Calcular la siguiente integral indefinida

\int x^2 e^{-3x}\,dx.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\int x^2 e^{-3x}dx = -\frac{1}{3}x^2 e^{-3x} - \frac{2}{9}x\,e^{-3x} - \frac{2}{27}e^{-3x} + C = -\frac{e^{-3x}}{27}\left(9x^2 + 6x + 2\right) + C

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el producto de un polinomio por una exponencial: el caso de libro de la integración por partes. Se deriva el polinomio (

u = x^2

) y se integra la exponencial (

dv = e^{-3x}dx

). Cada vez que se aplica, el grado del polinomio baja en uno, así que con grado 2 hacen falta dos pasadas. Al final, sacar factor común

e^{-3x}

deja el resultado limpio y fácil de comprobar derivando.

Desarrollo

Primitiva de la exponencial. La vamos a usar varias veces:

\int e^{-3x}\,dx = -\frac{1}{3}e^{-3x}.

Primera integración por partes. Con

u = x^2

du = 2x\,dx

;

dv = e^{-3x}dx

v = -\frac{1}{3}e^{-3x}

\int x^2 e^{-3x}dx = -\frac{1}{3}x^2 e^{-3x} + \frac{2}{3}\int x\,e^{-3x}dx.

Segunda integración por partes. Con

u = x

du = dx

;

dv = e^{-3x}dx

v = -\frac{1}{3}e^{-3x}

\int x\,e^{-3x}dx = -\frac{1}{3}x\,e^{-3x} + \frac{1}{3}\int e^{-3x}dx = -\frac{1}{3}x\,e^{-3x} - \frac{1}{9}e^{-3x}.

Juntar.

\int x^2 e^{-3x}dx = -\frac{1}{3}x^2 e^{-3x} + \frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}x\,e^{-3x} - \frac{1}{9}e^{-3x}\right) + C = -\frac{1}{3}x^2 e^{-3x} - \frac{2}{9}x\,e^{-3x} - \frac{2}{27}e^{-3x} + C.

Sacando factor común:

\int x^2 e^{-3x}dx = -\frac{e^{-3x}}{27}\left(9x^2 + 6x + 2\right) + C.

Comprobación derivando. Con

F(x) = -\frac{1}{27}e^{-3x}(9x^2 + 6x + 2)

F'(x) = \frac{3}{27}e^{-3x}(9x^2 + 6x + 2) - \frac{1}{27}e^{-3x}(18x + 6) = \frac{e^{-3x}}{27}\left(27x^2 + 18x + 6 - 18x - 6\right) = x^2 e^{-3x}\ \checkmark

Consejo

El error más frecuente aquí es el signo de $v$ : la primitiva de $e^{-3x}$ es $-\frac{1}{3}e^{-3x}$ , y ese menos se arrastra por las dos pasadas. Derivar el resultado lleva un minuto y te dice si está bien. El criterio da 0,5 puntos por plantear las partes y 1,5 por el cálculo correcto, y no olvides la constante $C$ .