Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Julio · Opción A

Dominio. $f$ es producto de un polinomio y una exponencial: está definida y es continua en todo $\mathbb{R}$.

Derivada. Por la regla del producto:$$f'(x) = 2x\,e^{-x} + x^2\,(-e^{-x}) = e^{-x}\,(2x - x^2) = x\,(2 - x)\,e^{-x}.$$Puntos críticos. Como $e^{-x} \neq 0$, $f'(x) = 0 \iff x(2 - x) = 0 \iff x = 0$ o $x = 2$.

Signo de $f'$. El signo es el de $x(2 - x)$:Extremos. En $x = 0$ la función pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo en $(0, f(0)) = (0, 0)$. En $x = 2$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo en$$\left(2,\ f(2)\right) = \left(2,\ \frac{4}{e^2}\right) \approx (2;\ 0{,}541).$$Como $f(x) = x^2 e^{-x} \geq 0$ para todo $x$, el mínimo $(0, 0)$ es además absoluto.

Asíntotas verticales. No tiene: $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$.

Asíntota horizontal en $+\infty$. La exponencial gana al polinomio:$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^{x}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 0 \text{ es asíntota horizontal cuando } x \to +\infty.$$(Por L'Hôpital dos veces: $\lim \frac{2x}{e^x} = \lim \frac{2}{e^x} = 0$.)

Por la izquierda, $x \to -\infty$. Ahora $x^2 \to +\infty$ y $e^{-x} \to +\infty$, así que $f(x) \to +\infty$: no hay asíntota horizontal por ese lado. Tampoco oblicua, porque$$\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} x\,e^{-x} = -\infty,$$que no es un número finito.