Matemáticas IIMedio2 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Julio · Opción A

También trata: Rectas y planos

Enunciado

Sea

\pi

el plano de ecuación

x + y + z = 1

, sea

r

la recta de ecuaciones paramétricas

\{x = 1,\ y = t,\ z = t\}

y sea

P

el punto

(1, 1, 0)

.

a) Hallar la ecuación del plano perpendicular a

r

y que contenga a

P

.

b) Hallar el punto simétrico de

P

respecto al plano

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) El plano es

y + z = 1

.

b) El punto medio es

M\left(\tfrac{2}{3}, \tfrac{2}{3}, -\tfrac{1}{3}\right)

y el simétrico de

P

respecto de

\pi

P'\left(\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}, -\tfrac{2}{3}\right)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las dos preguntas usan la misma idea: lo perpendicular a una recta tiene por normal su director, y lo perpendicular a un plano tiene por director su normal.

En a), el plano buscado es perpendicular a $r$ , así que su vector normal es el director de $r$ ; con el punto $P$ queda determinado.
En b), se traza la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $\pi$ (su director es el normal de $\pi$ ), se corta con $\pi$ para obtener el punto medio $M$ entre $P$ y su simétrico, y se despeja $P' = 2M - P$ .

Desarrollo

a) Vector director de $r$ . De

x = 1

y = t

z = t

, los coeficientes de

t

dan

\vec v_r = (0, 1, 1)

.

Plano perpendicular a $r$ por $P$ . Su normal es

\vec n = \vec v_r = (0, 1, 1)

; en forma punto-normal con

P(1, 1, 0)

0\,(x - 1) + 1\,(y - 1) + 1\,(z - 0) = 0 \quad\Longrightarrow\quad y + z - 1 = 0.

Comprobación.

P

1 + 0 = 1

✓.

b) Recta perpendicular a $\pi$ por $P$ . El normal de

\pi

\vec n_\pi = (1, 1, 1)

, así que

s:\ (x, y, z) = (1 + \lambda,\ 1 + \lambda,\ \lambda).

Punto medio $M = s \cap \pi$ . Sustituyendo en

x + y + z = 1

(1 + \lambda) + (1 + \lambda) + \lambda = 1 \;\Longrightarrow\; 3\lambda = -1 \;\Longrightarrow\; \lambda = -\tfrac{1}{3},

M = \left(\tfrac{2}{3},\ \tfrac{2}{3},\ -\tfrac{1}{3}\right).

Simétrico.

M

es el punto medio de

P

P'

, así que

P' = 2M - P

P' = \left(\tfrac{4}{3} - 1,\ \tfrac{4}{3} - 1,\ -\tfrac{2}{3} - 0\right) = \left(\tfrac{1}{3},\ \tfrac{1}{3},\ -\tfrac{2}{3}\right).

Comprobación.

\overrightarrow{PP'} = \left(-\tfrac{2}{3}, -\tfrac{2}{3}, -\tfrac{2}{3}\right)

es paralelo a

(1, 1, 1)

✓, y

M

está en

\pi

\tfrac{2}{3} + \tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{3} = 1

✓.

Consejo

En el simétrico, el fallo más común es dar el punto $M$ como respuesta: $M$ es solo el punto medio, y hay que dar un paso más con $P' = 2M - P$ . Comprueba siempre que el punto medio está en el plano y que $\overrightarrow{PP'}$ es paralelo al normal: son dos líneas que detectan casi cualquier error de signo.