Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Julio · Opción A

Rango al menos 2. El menor formado por las filas 1 y 3 y las columnas 1 y 3 no depende de $a$:$$\begin{vmatrix} 1 & a+1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{rg} A(a) \geq 2 \ \text{ para todo } a.$$Menor con las columnas 1, 2 y 3. Desarrollando por la segunda fila (solo tiene un elemento no nulo, el $a$ de la posición $(2,1)$):$$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a+1 \\ a & 0 & 0 \\ 0 & a & 2 \end{vmatrix} = -a\begin{vmatrix} 1 & a+1 \\ a & 2 \end{vmatrix} = -a\big(2 - a^2 - a\big) = a\,(a^2 + a - 2) = a\,(a-1)(a+2).$$Se anula en $a = 0$, $a = 1$ y $a = -2$.

Menor con las columnas 1, 2 y 4. Desarrollando por la tercera fila:$$\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & 0 & 2 \\ 0 & a & 0 \end{vmatrix} = -a\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ a & 2 \end{vmatrix} = -a\,(2 - a) = a^2 - 2a = a\,(a-2).$$Se anula en $a = 0$ y $a = 2$.

Menor con las columnas 1, 3 y 4. Desarrollando por la tercera fila:$$\Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & a+1 & 1 \\ a & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = -2\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ a & 2 \end{vmatrix} = -2\,(2 - a) = 2a - 4.$$Se anula solo en $a = 2$.

Menor con las columnas 2, 3 y 4. Desarrollando por la segunda fila (el 2 de la posición $(2,3)$ lleva signo $-$):$$\Delta_4 = \begin{vmatrix} 1 & a+1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ a & 2 & 0 \end{vmatrix} = -2\begin{vmatrix} 1 & a+1 \\ a & 2 \end{vmatrix} = -2\,(2 - a^2 - a) = 2\,(a-1)(a+2).$$Se anula en $a = 1$ y $a = -2$.

¿Hay algún $a$ que los anule todos? Basta con mirar dos de ellos: $\Delta_3$ solo se anula en $a = 2$, y en ese valor$$\Delta_1(2) = 2\cdot 1\cdot 4 = 8 \neq 0.$$Así que para cualquier $a$ hay al menos un menor de orden 3 distinto de cero: si $a \neq 2$, $\Delta_3 \neq 0$; si $a = 2$, $\Delta_1 \neq 0$.

Conclusión. El rango no baja nunca de 3.