Matemáticas IIFácil2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2018 · Junio (coincidentes) · Opción B

Enunciado

Sean

A

B

dos sucesos independientes de un experimento aleatorio, cuyas probabilidades son

P(A) = 0{,}6

P(B) = 0{,}2

. Calcule las siguientes probabilidades:

P(A \cup B), \quad P\left(\overline{A} \cup \overline{B}\right), \quad P\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right), \quad P\left(\overline{A} \cap B\right), \quad P\left(\overline{A} \mid B\right).

Nota:

\overline{S}

denota el suceso complementario de

S

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{P(A \cup B) = 0{,}68 \quad P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 0{,}88 \quad P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}32 \quad P(\overline{A} \cap B) = 0{,}08 \quad P(\overline{A} \mid B) = 0{,}4}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo sale de la independencia:

P(A \cap B) = P(A)\,P(B)

, y si

A

B

son independientes también lo son sus complementarios entre sí (

\overline{A}

con

B

\overline{A}

con

\overline{B}

…). Con eso, la fórmula de la unión y las leyes de De Morgan (

\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}

\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}

), cada probabilidad es una línea.

Desarrollo

Por la independencia,

P(A \cap B) = P(A)\,P(B) = 0{,}6 \cdot 0{,}2 = 0{,}12

y además

P(\overline{A}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4

P(\overline{B}) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8

.

1) Unión:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}6 + 0{,}2 - 0{,}12 = 0{,}68

2) Por De Morgan,

\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}

P\left(\overline{A} \cup \overline{B}\right) = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0{,}12 = 0{,}88

3) Por De Morgan,

\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}

P\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}68 = 0{,}32

(Coincide con

P(\overline{A})\,P(\overline{B}) = 0{,}4 \cdot 0{,}8 = 0{,}32

, porque

\overline{A}

\overline{B}

también son independientes ✓.)

4)

B

se parte en

A \cap B

\overline{A} \cap B

P\left(\overline{A} \cap B\right) = P(B) - P(A \cap B) = 0{,}2 - 0{,}12 = 0{,}08

(De nuevo,

P(\overline{A})\,P(B) = 0{,}4 \cdot 0{,}2 = 0{,}08

✓.)

5) Probabilidad condicionada:

P\left(\overline{A} \mid B\right) = \frac{P\left(\overline{A} \cap B\right)}{P(B)} = \frac{0{,}08}{0{,}2} = 0{,}4

que es exactamente

P(\overline{A})

: saber que ha ocurrido

B

no cambia la probabilidad de

\overline{A}

, que es lo que significa la independencia.

Comprobación con las cuatro casillas:

P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) + P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}12 + 0{,}48 + 0{,}08 + 0{,}32 = 1

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas independientes ( $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ ) con incompatibles ( $P(A \cap B) = 0$ ): aquí la intersección vale $0{,}12$ , no $0$ .

Las leyes de De Morgan ahorran mucho: el contrario de «alguno no ocurre» es «ocurren los dos», y el de «no ocurre ninguno» es «ocurre alguno». Escríbelas en el examen, que la justificación cuenta la mitad de cada apartado.