Rectas y planos

a) Recta $r$: punto $A_r(-2, -3, 0)$ (con $\lambda = 0$) y director $\vec{u} = (0, 2, -1)$.

Recta $s$: sus planos tienen normales $\vec{n}_1 = (-1, 1, 2)$ y $\vec{n}_2 = (-1, 2, 3)$. Un director es$$\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = (3 - 4,\ -2 + 3,\ -2 + 1) = (-1, 1, -1)$$Para un punto, hacemos $z = 0$: $-x + y = -4$ y $-x + 2y = -5$; restando, $y = -1$, y entonces $x = 3$. Así $A_s(3, -1, 0)$ (cumple las dos ecuaciones: $-3 - 1 + 4 = 0$ y $-3 - 2 + 5 = 0$ ✓).

Los directores $\vec{u} = (0, 2, -1)$ y $\vec{v} = (-1, 1, -1)$ no son proporcionales (la primera coordenada de $\vec{u}$ es $0$ y la de $\vec{v}$ no), así que las rectas no son paralelas ni coincidentes. Con $\overrightarrow{A_rA_s} = (5, 2, 0)$:$$\left[\vec{u}, \vec{v}, \overrightarrow{A_rA_s}\right] = \begin{vmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 5 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 2\,(0 + 5) + (-1)\,(-2 - 5) = -10 + 7 = -3 \neq 0$$Los tres vectores no son coplanarios: las rectas $r$ y $s$ se cruzan.

Otra forma. Sustituyendo un punto genérico de $r$ en el primer plano de $s$: $-(-2) + (-3 + 2\lambda) + 2(-\lambda) + 4 = 3 \neq 0$ para todo $\lambda$. Ningún punto de $r$ está en ese plano, luego $r$ y $s$ no tienen puntos comunes; como no son paralelas, se cruzan ✓.

b) El plano es paralelo a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$, así que su normal es$$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-2 + 1,\ 1 - 0,\ 0 + 2) = (-1, 1, 2)$$El plano $-x + y + 2z + D = 0$ pasa por $P(-1, 2, -1)$: $1 + 2 - 2 + D = 0 \Rightarrow D = -1$. Multiplicando por $-1$:$$\pi \equiv x - y - 2z + 1 = 0$$Comprobación: $\vec{n}\cdot\vec{u} = 0 + 2 - 2 = 0$ y $\vec{n}\cdot\vec{v} = 1 + 1 - 2 = 0$ ✓; $P$: $-1 - 2 + 2 + 1 = 0$ ✓. (Tiene la misma normal que el primer plano de $s$, lo cual es lógico: ese plano contiene a $s$ y también es paralelo a $r$.)

c) La proyección ortogonal de $P(-1, 2, -1)$ sobre el plano $z = 0$ se obtiene anulando la tercera coordenada: $P'(-1, 2, 0)$. Los vértices son $O(0,0,0)$, $P(-1,2,-1)$ y $P'(-1,2,0)$:$$\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OP'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 2,\ 1 - 0,\ -2 + 2) = (2, 1, 0)$$$$\text{Área} = \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OP'}\right| = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 1 + 0} = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}118\ \text{u}^2$$Comprobación: el triángulo es rectángulo en $P'$, porque $\overrightarrow{P'P} = (0, 0, -1)$ es vertical y $\overrightarrow{P'O} = (1, -2, 0)$ es horizontal. Sus catetos miden $1$ y $\sqrt{5}$, y el área es $\frac{1\cdot\sqrt{5}}{2}$ ✓.