Matemáticas IIFácil2,5 pts

Optimización

Comunidad de Madrid · 2018 · Junio (coincidentes) · Opción B
Enunciado
Una firma de alta perfumería pretende sacar al mercado un frasco de un perfume exclusivo que contenga 1212 ml de esencia pura más una cantidad variable, xx, de alcohol. El precio de la esencia pura es de 4848 euros el mililitro. Al añadir alcohol a la esencia, el precio de la mezcla resultante disminuye. Sabiendo que por cada mililitro de alcohol añadido el precio del mililitro de mezcla se reduce 33 euros, se pide:

a) (0,25 puntos) Determinar el precio del frasco de perfume en el caso x=0x = 0 (el frasco solo contiene los 1212 ml de esencia).

b) (0,5 puntos) Expresar en función de xx el precio del frasco que contiene (12+x)(12 + x) ml de mezcla.

c) (0,5 puntos) Deducir con qué valor de xx el precio de la mezcla se hace cero.

d) (1,25 puntos) Sin tener en cuenta otros costes, determinar el valor de xx para el que se obtiene el frasco de perfume (mezcla) de precio máximo. Indicar en este caso la capacidad del frasco y el precio resultante.
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Resultado
a) 576 eurosb) P(x)=(12+x)(48−3x)=−3x2+12x+576c) x=16 ml\boxed{\text{a)}\ 576 \text{ euros} \qquad \text{b)}\ P(x) = (12 + x)(48 - 3x) = -3x^2 + 12x + 576 \qquad \text{c)}\ x = 16 \text{ ml}}d) x=2 ml de alcohol: frasco de 14 ml a 588 euros\boxed{\text{d)}\ x = 2 \text{ ml de alcohol: frasco de } 14 \text{ ml a } 588 \text{ euros}}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

El precio del frasco es siempre (mililitros de mezcla) × (precio de cada mililitro). Lo primero es traducir el enunciado: con xx ml de alcohol hay 12+x12 + x ml de mezcla y cada mililitro cuesta 48−3x48 - 3x euros. Su producto es una parábola hacia abajo, así que tiene un máximo, que se busca derivando e igualando a cero.

Hay un equilibrio que explica el problema: añadir alcohol da más mililitros que vender, pero cada uno más barato. Al principio compensa; a partir de cierto punto, no.
2

Desarrollo

a) Con x=0x = 0 el frasco tiene 1212 ml de esencia pura a 4848 euros el mililitro:P(0)=12⋅48=576 eurosP(0) = 12 \cdot 48 = 576 \text{ euros}b) Con xx ml de alcohol:
  • capacidad del frasco: 12+x12 + x ml;
  • precio de un mililitro de mezcla: 48−3x48 - 3x euros (baja 33 euros por cada mililitro de alcohol).
El precio del frasco es su producto:P(x)=(12+x)(48−3x)=576−36x+48x−3x2=−3x2+12x+576P(x) = (12 + x)(48 - 3x) = 576 - 36x + 48x - 3x^2 = -3x^2 + 12x + 576(con P(0)=576P(0) = 576, como en a) ✓).

c) El precio de un mililitro de mezcla se anula cuando48−3x=0  ⟺  x=16 ml48 - 3x = 0 \iff x = 16 \text{ ml}Con 1616 ml de alcohol la mezcla ya no vale nada (y, como 12+x>012 + x > 0, también el frasco: P(16)=28⋅0=0P(16) = 28 \cdot 0 = 0). Por tanto, el problema solo tiene sentido para 0≤x≤160 \le x \le 16.

d) Maximizamos P(x)=−3x2+12x+576P(x) = -3x^2 + 12x + 576 en [0,16][0, 16]:P′(x)=−6x+12=0  ⟺  x=2P'(x) = -6x + 12 = 0 \iff x = 2Como P′′(x)=−6<0P''(x) = -6 < 0, en x=2x = 2 hay un máximo (además, P′>0P' > 0 en [0,2)[0, 2) y P′<0P' < 0 en (2,16](2, 16]: PP crece y luego decrece, así que es el máximo absoluto en el intervalo; en los extremos, P(0)=576P(0) = 576 y P(16)=0P(16) = 0 son menores).

Para x=2x = 2:
  • capacidad del frasco: 12+2=1412 + 2 = 14 ml;
  • precio de cada mililitro: 48−3⋅2=4248 - 3\cdot 2 = 42 euros;
  • precio del frasco: P(2)=14⋅42=588P(2) = 14 \cdot 42 = 588 euros.
Comprobación: P(2)=−3⋅4+24+576=588P(2) = -3\cdot 4 + 24 + 576 = 588 ✓. Con x=1x = 1 o x=3x = 3, P(1)=13⋅45=585P(1) = 13\cdot 45 = 585 y P(3)=15⋅39=585P(3) = 15\cdot 39 = 585, ambos menores.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
3

Consejo

En los problemas de optimización con enunciado, escribe con palabras qué multiplica a qué («mililitros × precio por mililitro») antes de poner la fórmula: así no se te olvida que las dos cosas dependen de xx.

Justifica siempre que el punto crítico es un máximo (segunda derivada o signo de la primera) y responde a todo lo que pide d): el valor de xx, la capacidad y el precio.
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