Matemáticas IIMedio2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2018 · Junio (coincidentes) · Opción B

Enunciado

Dado el sistema de ecuaciones lineales

\begin{cases} 10x - 20y - 10z = 8\alpha + 44, \\ 2x - 5y + 3z = 4\alpha + 4, \\ 3x - 7y + 2z = 5\alpha + 9, \end{cases}

se pide:

a) (2 puntos) Discutir el sistema en función de los valores del parámetro real

\alpha

.

b) (0,5 puntos) Resolver el sistema para

\alpha = -3

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \alpha \neq -3:\ \text{incompatible};\qquad \alpha = -3:\ \text{compatible indeterminado}}

\boxed{\text{b)}\ (x, y, z) = (26 + 11\lambda,\ 12 + 5\lambda,\ \lambda),\ \lambda \in \mathbb{R}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo peculiar de este sistema es que el parámetro no está en los coeficientes, sino solo en los términos independientes. Así que el rango de la matriz de coeficientes no depende de

\alpha

: se calcula una vez. Si su determinante es cero (y lo es), el sistema nunca es compatible determinado, y la discusión se reduce a ver para qué

\alpha

la matriz ampliada tiene también rango 2 (teorema de Rouché-Frobenius).

Una forma elegante: encontrar qué combinación de las ecuaciones 2.ª y 3.ª da los coeficientes de la 1.ª; el sistema es compatible solo si esa misma combinación da también su término independiente.

Desarrollo

a) Matriz de coeficientes

A

y ampliada

A^*

A = \begin{pmatrix} 10 & -20 & -10 \\ 2 & -5 & 3 \\ 3 & -7 & 2 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 10 & -20 & -10 & 8\alpha + 44 \\ 2 & -5 & 3 & 4\alpha + 4 \\ 3 & -7 & 2 & 5\alpha + 9 \end{array}\right)

Determinante de

A

, desarrollando por la primera fila:

|A| = 10\,(-10 + 21) - (-20)\,(4 - 9) + (-10)\,(-14 + 15) = 110 - 100 - 10 = 0

y el menor

\begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 3 & -7 \end{vmatrix} = -14 + 15 = 1 \neq 0

, así que

\operatorname{rg}(A) = 2

para todo

\alpha

.

¿Qué relación hay entre las filas? Buscamos

p, q

con

F_1 = pF_2 + qF_3

en los coeficientes:

\begin{cases} 2p + 3q = 10 \\ -5p - 7q = -20 \\ 3p + 2q = -10 \end{cases}

De la primera y la tercera,

p = -10

q = 10

, que cumplen la segunda:

-5(-10) - 7\cdot 10 = 50 - 70 = -20

✓. Es decir,

F_1 = -10F_2 + 10F_3

en los coeficientes. Aplicada a los términos independientes, esa misma combinación da

-10\,(4\alpha + 4) + 10\,(5\alpha + 9) = 10\alpha + 50

El sistema es compatible si y solo si eso coincide con el término independiente de la primera ecuación:

10\alpha + 50 = 8\alpha + 44 \iff 2\alpha = -6 \iff \alpha = -3

(Lo mismo sale orlando el menor no nulo:

\begin{vmatrix} 10 & -20 & 8\alpha + 44 \\ 2 & -5 & 4\alpha + 4 \\ 3 & -7 & 5\alpha + 9 \end{vmatrix} = -2\alpha - 6

, que solo se anula en

\alpha = -3

Si $\alpha \neq -3$ : $\operatorname{rg}(A) = 2 < \operatorname{rg}(A^*) = 3$ . Sistema incompatible: no tiene solución.
Si $\alpha = -3$ : $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$ incógnitas. Sistema compatible indeterminado: infinitas soluciones, con un parámetro.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Para

\alpha = -3

los términos independientes son

8(-3) + 44 = 20

4(-3) + 4 = -8

5(-3) + 9 = -6

. La primera ecuación sobra (es

-10

veces la segunda más

10

veces la tercera) y nos quedamos con

\begin{cases} 2x - 5y + 3z = -8 \\ 3x - 7y + 2z = -6 \end{cases}

Tomamos

z = \lambda

como parámetro y resolvemos en

x

y

(el menor de sus coeficientes vale

1

\begin{cases} 2x - 5y = -8 - 3\lambda \\ 3x - 7y = -6 - 2\lambda \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = (-8 - 3\lambda)(-7) - (-5)(-6 - 2\lambda) = 26 + 11\lambda \\ y = 2(-6 - 2\lambda) - 3(-8 - 3\lambda) = 12 + 5\lambda \end{cases}

(por la regla de Cramer, con denominador

1

). La solución es

(x, y, z) = (26 + 11\lambda,\ 12 + 5\lambda,\ \lambda), \qquad \lambda \in \mathbb{R}

Comprobación en las tres ecuaciones:

$10(26 + 11\lambda) - 20(12 + 5\lambda) - 10\lambda = 260 - 240 + (110 - 100 - 10)\lambda = 20$ ✓
$2(26 + 11\lambda) - 5(12 + 5\lambda) + 3\lambda = 52 - 60 + (22 - 25 + 3)\lambda = -8$ ✓
$3(26 + 11\lambda) - 7(12 + 5\lambda) + 2\lambda = 78 - 84 + (33 - 35 + 2)\lambda = -6$ ✓

Consejo

Si el parámetro solo aparece en los términos independientes, $|A|$ no depende de él: o el sistema es compatible determinado para todo valor, o (como aquí) nunca lo es. No busques un caso « $\alpha \neq \ldots$ compatible determinado» que no existe.

En la discusión, di siempre los dos rangos y el número de incógnitas: es lo que pide el teorema de Rouché-Frobenius y lo que puntúa la corrección.