Matemáticas IIFácil2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2018 · Junio (coincidentes) · Opción A

Enunciado

La directiva de un club de cine ha hecho un estudio sobre los gustos cinematográficos de sus socios. De los

300

socios del club, hay

150

a los que les gustan las películas de acción,

135

a los que les gustan las películas de suspense y

75

a los que no les gustan ninguno de esos géneros cinematográficos. Si se elige un socio cualquiera, calcular las probabilidades de que:

a) (0,25 puntos) No le gusten las películas de acción.

b) (0,75 puntos) Le guste al menos uno de los dos géneros mencionados.

c) (0,75 puntos) Le guste el cine de acción y el de suspense.

d) (0,75 puntos) Le gusten las películas de acción, pero no las de suspense.

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(\overline{A}) = \frac{1}{2} \qquad \text{b)}\ P(A \cup S) = \frac{3}{4} \qquad \text{c)}\ P(A \cap S) = \frac{1}{5} \qquad \text{d)}\ P(A \cap \overline{S}) = \frac{3}{10}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Son recuentos de socios, así que todas las probabilidades se calculan con la regla de Laplace: casos favorables entre

300

. Lo cómodo es completar una tabla de contingencia (acción sí/no frente a suspense sí/no) o un diagrama de Venn. El dato clave es el de los

75

a los que no les gusta ninguno: su complementario son los que tienen al menos uno de los gustos, y de ahí, con la fórmula de la unión, sale la intersección.

Desarrollo

Sucesos.

A

= «le gustan las películas de acción»,

S

= «le gustan las de suspense». Datos:

P(A) = \frac{150}{300}, \qquad P(S) = \frac{135}{300}, \qquad P\left(\overline{A} \cap \overline{S}\right) = \frac{75}{300}

a) Por el suceso contrario:

P\left(\overline{A}\right) = 1 - P(A) = 1 - \frac{150}{300} = \frac{150}{300} = \frac{1}{2} = 0{,}5

b) «Al menos uno de los dos» es

A \cup S

, el contrario de «ninguno»: por las leyes de De Morgan,

\overline{A \cup S} = \overline{A} \cap \overline{S}

. Entonces

P(A \cup S) = 1 - P\left(\overline{A} \cap \overline{S}\right) = 1 - \frac{75}{300} = \frac{225}{300} = \frac{3}{4} = 0{,}75

c) De la fórmula de la unión,

P(A \cup S) = P(A) + P(S) - P(A \cap S)

P(A \cap S) = P(A) + P(S) - P(A \cup S) = \frac{150 + 135 - 225}{300} = \frac{60}{300} = \frac{1}{5} = 0{,}2

60

socios les gustan los dos géneros.

d) «Acción pero no suspense» es

A \cap \overline{S}

, la parte de

A

que queda al quitar la intersección:

P\left(A \cap \overline{S}\right) = P(A) - P(A \cap S) = \frac{150 - 60}{300} = \frac{90}{300} = \frac{3}{10} = 0{,}3

Comprobación con la tabla de contingencia (número de socios):

	$S$	$\overline{S}$	Total
$A$	$60$	$90$	$150$
$\overline{A}$	$75$	$75$	$150$
Total	$135$	$165$	$300$

La casilla

\overline{A} \cap \overline{S}

es el dato del enunciado (

75

), las filas y columnas suman bien y el total es

300

✓.

Consejo

Con recuentos, monta la tabla de contingencia antes de nada: cada apartado es leer una casilla. El error típico es pensar que $150 + 135 = 285$ socios tienen algún gusto, cuando los $60$ a los que les gustan los dos se están contando dos veces.

«Ninguno de los dos» es el contrario de «al menos uno» (De Morgan); no es el contrario de «los dos».