Rectas y planos

a) Plano que contiene a $P$, $Q$ y $R$. Sus vectores:$$\overrightarrow{PQ} = (0, -1, 0), \qquad \overrightarrow{PR} = (-1, -1, 0)$$Un vector normal es$$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, -1)$$o, mejor, $\vec{n} = (0, 0, 1)$. El plano por $P(1,1,1)$ con esa normal es $z - 1 = 0$, es decir,$$\pi \equiv z = 1$$(los tres puntos tienen $z = 1$ ✓). La recta $r$ pasa por $A(0, 0, -1)$ con dirección $\overrightarrow{AB} = (0, 1, 1)$:$$r \equiv \begin{cases} x = 0 \\ y = t \\ z = -1 + t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$Sustituyendo en $\pi$: $-1 + t = 1 \Rightarrow t = 2$. El punto de intersección es$$I = (0, 2, 1)$$b) Los vectores $\overrightarrow{PQ}$, $\overrightarrow{PR}$, $\overrightarrow{PT}$ son linealmente dependientes si y solo si su determinante (producto mixto) es nulo. Un punto genérico de $r$ es $T(0, t, -1 + t)$, de modo que $\overrightarrow{PT} = (-1, t - 1, t - 2)$:$$\begin{vmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ -1 & t - 1 & t - 2 \end{vmatrix} = (t - 2)\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = (t - 2)(0 - 1) = -(t - 2)$$(desarrollando por la tercera columna). Se anula solo para $t = 2$:$$T = (0, 2, 1)$$Es el punto de a), como cabía esperar: los tres vectores son dependientes justo cuando $T$ está en el plano de $P$, $Q$ y $R$, y $r$ corta a ese plano en un único punto.

c) Los vectores que salen de $O$ son $\overrightarrow{OP} = (1, 1, 1)$, $\overrightarrow{OQ} = (1, 0, 1)$, $\overrightarrow{OR} = (0, 0, 1)$. Su producto mixto, desarrollando por la tercera fila:$$\left[\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}, \overrightarrow{OR}\right] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1$$$$V = \frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}, \overrightarrow{OR}\right]\right| = \frac{1}{6}\,|-1| = \frac{1}{6}\ \text{u}^3$$Comprobación como «base por altura entre tres»: la base $PQR$ está en el plano $z = 1$ y es un triángulo rectángulo en $Q$ con catetos $|\overrightarrow{QP}| = 1$ y $|\overrightarrow{QR}| = 1$, de área $\frac{1}{2}$; la altura desde $O$ es la distancia de $O$ al plano $z = 1$, que es $1$. Entonces $V = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{6}$ ✓.