Matemáticas IIMedio2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Integrales · Límites y continuidad

Comunidad de Madrid · 2018 · Junio (coincidentes) · Opción A

Enunciado

Dada la función

f(x) = 3x^2e^{-x}

, se pide:

a) (1 punto) Hallar los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

f(x)

.

b) (0,75 puntos) Calcular

\displaystyle\int_0^1 \frac{f(x)}{x}\,dx

.

c) (0,75 puntos) Calcular los límites:

\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ \text{Decrece en } (-\infty, 0)\cup(2, +\infty),\ \text{crece en } (0, 2);\ \text{mínimo en } (0, 0),\ \text{máximo en } \left(2, \tfrac{12}{e^2}\right)}

\boxed{\text{b)}\ \int_0^1 \frac{f(x)}{x}\,dx = 3 - \frac{6}{e} \approx 0{,}7927}

\boxed{\text{c)}\ \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty,\qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) se deriva con la regla del producto, se saca factor común

e^{-x}

(que nunca se anula ni cambia de signo) y el signo de

f'

queda en manos de un polinomio de grado 2: tabla de signos y listo.

En b),

\frac{f(x)}{x} = 3xe^{-x}

: un polinomio por una exponencial, el caso típico de integración por partes (se deriva el polinomio, se integra la exponencial).

En c), hacia

-\infty

los dos factores crecen y no hay indeterminación; hacia

+\infty

aparece

\infty \cdot 0

, que se convierte en

\frac{\infty}{\infty}

y se resuelve con L'Hôpital (o recordando que la exponencial crece más deprisa que cualquier potencia).

Desarrollo

f

está definida y es derivable en todo

\mathbb{R}

. Por la regla del producto:

f'(x) = 6x\,e^{-x} + 3x^2\cdot\left(-e^{-x}\right) = 3e^{-x}\left(2x - x^2\right) = 3x(2 - x)\,e^{-x}

Como

e^{-x} > 0

siempre,

f'(x) = 0 \iff x = 0

x = 2

. Estudiamos el signo de

3x(2-x)

	$(-\infty, 0)$	$(0, 2)$	$(2, +\infty)$
$3x$	$-$	$+$	$+$
$2 - x$	$+$	$+$	$-$
$f'(x)$	$-$	$+$	$-$
$f$	decrece	crece	decrece

(Por ejemplo,

f'(-1) = -9e \approx -24{,}5 < 0

f'(1) = 3e^{-1} > 0

f'(3) = -9e^{-3} < 0

$f$ es decreciente en $(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$ y creciente en $(0, 2)$ .
En $x = 0$ pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo en $(0, f(0)) = (0, 0)$ .
En $x = 2$ pasa de crecer a decrecer: máximo relativo en $\left(2, f(2)\right) = \left(2, \dfrac{12}{e^2}\right) \approx (2;\ 1{,}624)$ .

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Para

x \neq 0

\dfrac{f(x)}{x} = 3x e^{-x}

(y esta expresión vale también en

x = 0

, así que la integral es la de una función continua en

[0, 1]

\int_0^1 \frac{f(x)}{x}\,dx = \int_0^1 3x e^{-x}\,dx

Por partes, con

u = 3x

dv = e^{-x}\,dx

, de modo que

du = 3\,dx

v = -e^{-x}

\int 3x e^{-x}\,dx = -3x e^{-x} + \int 3e^{-x}\,dx = -3x e^{-x} - 3e^{-x} + C = -3(x + 1)e^{-x} + C

(Comprobación:

\left[-3(x+1)e^{-x}\right]' = -3e^{-x} + 3(x+1)e^{-x} = 3xe^{-x}

✓.) Por la regla de Barrow:

\int_0^1 3x e^{-x}\,dx = \Big[-3(x+1)e^{-x}\Big]_0^1 = -3\cdot 2\,e^{-1} - \left(-3\cdot 1\cdot e^{0}\right) = 3 - \frac{6}{e} \approx 0{,}7927

Es positivo, como debe ser: el integrando es positivo en

(0, 1]

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c) Cuando

x \to -\infty

3x^2 \to +\infty

e^{-x} \to +\infty

, así que no hay indeterminación:

\lim_{x \to -\infty} 3x^2 e^{-x} = (+\infty)\cdot(+\infty) = +\infty

Cuando

x \to +\infty

3x^2 \to +\infty

e^{-x} \to 0

, indeterminación

\infty \cdot 0

. Escribimos

f(x) = \dfrac{3x^2}{e^x}

, que es

\frac{\infty}{\infty}

, y aplicamos L'Hôpital dos veces:

\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{6x}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{6}{e^x} = 0

Así que

y = 0

es asíntota horizontal de

f

por la derecha. Cuadra con a): a partir de

x = 2

la función decrece y es positiva, así que baja hacia

0

sin cortarlo.

Consejo

Con una exponencial como factor, saca siempre $e^{-x}$ factor común en la derivada: es positiva, así que el signo lo decide solo el polinomio que queda.

En b) no hagas partes con el $x^2$ : simplifica antes $\frac{3x^2e^{-x}}{x} = 3xe^{-x}$ y solo hay que aplicar partes una vez. Y en c), distingue los dos límites: hacia $-\infty$ no hay indeterminación (es $\infty\cdot\infty$ ); la corrección puntúa más el de $+\infty$ .