Matemáticas IIMedio2,5 pts

Matrices

Comunidad de Madrid · 2018 · Junio (coincidentes) · Opción A
Enunciado
Dadas las matricesA=(1/3−2/3−2/3−2/31/3−2/32/32/3−1/3)yB=(200020002),A = \begin{pmatrix} 1/3 & -2/3 & -2/3 \\ -2/3 & 1/3 & -2/3 \\ 2/3 & 2/3 & -1/3 \end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},se pide:

a) (0,5 puntos) Calcular AtAA^tA y AAtAA^t, donde AtA^t denota la matriz traspuesta de AA.

b) (1,25 puntos) Hallar A−1A^{-1} y resolver el sistema lineal A(xyz)=(111)A\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

c) (0,75 puntos) Calcular C2C^2, donde C=ABAtC = ABA^t.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
a) AtA=AAt=I\boxed{\text{a)}\ A^tA = AA^t = I}b) A−1=At=13(1−22−212−2−2−1),x=13, y=13, z=−53\boxed{\text{b)}\ A^{-1} = A^t = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ -2 & -2 & -1 \end{pmatrix},\qquad x = \frac{1}{3},\ y = \frac{1}{3},\ z = -\frac{5}{3}}c) C=2I,C2=4I=(400040004)\boxed{\text{c)}\ C = 2I,\qquad C^2 = 4I = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Todo el ejercicio gira alrededor de una propiedad: si AtA=IA^tA = I, la traspuesta es la inversa. Para no arrastrar fracciones conviene escribir A=13MA = \frac{1}{3}M, con MM de enteros, y operar con MM.

En a) basta multiplicar. En b), lo que sale en a) da la inversa sin calcular ni un adjunto, y el sistema se resuelve multiplicando por ella: X=A−1(111)X = A^{-1}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}. En c), B=2IB = 2I conmuta con todo, así que CC se simplifica muchísimo antes de elevar al cuadrado.
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Desarrollo

Escribimos A=13MA = \dfrac{1}{3}M conM=(1−2−2−21−222−1),Mt=(1−22−212−2−2−1).M = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}, \qquad M^t = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ -2 & -2 & -1 \end{pmatrix}.a) Como AtA=19MtMA^tA = \frac{1}{9}M^tM:MtM=(1−22−212−2−2−1)(1−2−2−21−222−1)=(1+4+4−2−2+4−2+4−2−2−2+44+1+44−2−2−2+4−24−2−24+4+1)=(900090009)M^tM = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ -2 & -2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4+4 & -2-2+4 & -2+4-2 \\ -2-2+4 & 4+1+4 & 4-2-2 \\ -2+4-2 & 4-2-2 & 4+4+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}luego AtA=IA^tA = I. Del mismo modo,MMt=(1−2−2−21−222−1)(1−22−212−2−2−1)=(1+4+4−2−2+42−4+2−2−2+44+1+4−4+2+22−4+2−4+2+24+4+1)=(900090009)MM^t = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ -2 & -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4+4 & -2-2+4 & 2-4+2 \\ -2-2+4 & 4+1+4 & -4+2+2 \\ 2-4+2 & -4+2+2 & 4+4+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}y también AAt=IAA^t = I. (Las columnas de AA tienen módulo 1 y son perpendiculares dos a dos: es una matriz ortogonal.)

b) Por a), AtA=AAt=IA^tA = AA^t = I, que es justo la definición de inversa:A−1=At=(1/3−2/32/3−2/31/32/3−2/3−2/3−1/3)A^{-1} = A^t = \begin{pmatrix} 1/3 & -2/3 & 2/3 \\ -2/3 & 1/3 & 2/3 \\ -2/3 & -2/3 & -1/3 \end{pmatrix}El sistema es AX=(111)AX = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} con ∣A∣≠0|A| \neq 0 (porque AA tiene inversa), así que tiene solución única. Multiplicando por A−1A^{-1} por la izquierda:X=A−1(111)=13(1−2+2−2+1+2−2−2−1)=(1/31/3−5/3)X = A^{-1}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1-2+2 \\ -2+1+2 \\ -2-2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 \\ 1/3 \\ -5/3 \end{pmatrix}Comprobación en la primera ecuación: 13⋅13−23⋅13−23⋅(−53)=1−2+109=1\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3} - \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3} - \frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{1 - 2 + 10}{9} = 1 ✓. En la segunda: −2+1+109=1\frac{-2 + 1 + 10}{9} = 1 ✓, y en la tercera: 2+2+59=1\frac{2 + 2 + 5}{9} = 1 ✓.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
(En la simulación cada ecuación va multiplicada por 3, para escribirla con enteros: la solución es la misma.)

c) Como B=2IB = 2I, en el producto el 2 sale fuera:C=ABAt=A(2I)At=2 AAt=2I=(200020002)C = ABA^t = A(2I)A^t = 2\,AA^t = 2I = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}y por tantoC2=(2I)(2I)=4I=(400040004)C^2 = (2I)(2I) = 4I = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
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Consejo

Cuando una matriz tenga fracciones con el mismo denominador, saca ese número fuera (A=13MA = \frac{1}{3}M): los productos se hacen con enteros y al final se divide entre 99.

Lee el ejercicio entero antes de empezar: a) te regala la inversa de b). Calcularla por adjuntos también vale, pero es más largo y da más ocasiones de equivocarse con un signo. Y en c), una matriz escalar como B=2IB = 2I conmuta con todas: no hagas los productos.
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