Distribución normal

a) Sucesos: $A$ = «el producto es de tipo A», $B$ = «es de tipo B», $D$ = «sale defectuoso». Datos: $P(A) = 0{,}75$, $P(B) = 0{,}25$, $P(D \mid A) = 0{,}025$, $P(D \mid B) = 0{,}05$. Por el teorema de la probabilidad total:$$P(D) = P(A)\,P(D \mid A) + P(B)\,P(D \mid B) = 0{,}75 \cdot 0{,}025 + 0{,}25 \cdot 0{,}05 = 0{,}01875 + 0{,}0125 = 0{,}03125$$El número de defectuosos entre 5000 es una binomial $B(5000;\ 0{,}03125)$, cuya media es$$E = n\,p = 5000 \cdot 0{,}03125 = 156{,}25$$Se esperan unos 156 productos defectuosos (156,25 de media).

b) Sea $X$ = «número de unidades defectuosas entre las 6000», todas de tipo A. Cada unidad es defectuosa con probabilidad $p = 0{,}025$, independientemente de las demás, así que$$X \sim B(6000;\ 0{,}025), \qquad \mu = np = 150, \qquad \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{6000 \cdot 0{,}025 \cdot 0{,}975} = \sqrt{146{,}25} \approx 12{,}09$$Como $np = 150 \geq 5$ y $nq = 5850 \geq 5$, la aproximación por la normal es buena: $X \approx Y \sim N(150;\ 12{,}09)$.

«Más de 160» en una variable entera es $X \geq 161$. Con la corrección de continuidad, el valor $161$ ocupa el intervalo $[160{,}5;\ 161{,}5]$, así que$$P(X > 160) = P(X \geq 161) \approx P(Y \geq 160{,}5) = P\left(Z \geq \frac{160{,}5 - 150}{12{,}09}\right) = P(Z \geq 0{,}87)$$$$= 1 - P(Z < 0{,}87) = 1 - 0{,}8078 = 0{,}1922$$La probabilidad de que haya más de 160 defectuosas es aproximadamente 0,19 (un 19,2 %).

(Sin la corrección de continuidad se tipificaría $160$: $z = \frac{10}{12{,}09} \approx 0{,}83$ y $P(Z > 0{,}83) = 1 - 0{,}7967 = 0{,}2033$. La corrección da un valor más fiel: la binomial exacta vale $0{,}1917$.)

Comprobaciones. En a), la proporción de defectuosos ($3{,}125\,\%$) está entre el $2{,}5\,\%$ y el $5\,\%$, más cerca del $2{,}5\,\%$ porque la mayoría son de tipo A ✓. En b), $160{,}5$ está menos de una desviación típica por encima de la media, así que la probabilidad tiene que ser menor que $0{,}5$ y mayor que $P(Z > 1) \approx 0{,}16$ ✓.