Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Comunidad de Madrid · 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

Dados el punto

P(1, 1, 1)

y las rectas

r \equiv \left\{\begin{array}{l} 2x + y = 2 \\ 5x + z = 6 \end{array}\right.

\quad s \equiv \dfrac{x - 2}{-1} = \dfrac{y + 1}{1} = \dfrac{z - 1}{1/3}

, se pide:

a) (1 punto) Hallar la distancia del punto

P

a la recta

r

.

b) (1 punto) Estudiar la posición relativa de las rectas

r

s

.

c) (0,5 puntos) Hallar el plano perpendicular a la recta

s

y que pasa por el punto

P

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ d(P, r) = \sqrt{\frac{13}{15}} = \frac{\sqrt{195}}{15} \approx 0{,}9309\ \text{u}}

\boxed{\text{b)}\ r\ \text{y}\ s\ \text{se cruzan}\ \ \bigl([\vec{v}_r, \vec{v}_s, \overrightarrow{RS}] = -1 \neq 0\bigr)}

\boxed{\text{c)}\ \pi \equiv 3x - 3y - z + 1 = 0}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es tener las dos rectas en la forma «punto + vector director». La recta

r

viene como corte de dos planos: tomando

x

como parámetro se despejan

y

z

al instante. En

s

conviene quitar el

1/3

multiplicando el director por

3

(un múltiplo del director sirve igual).

En a), la distancia de un punto a una recta es el área del paralelogramo que forman

\overrightarrow{RP}

\vec{v}_r

dividida por la base

|\vec{v}_r|

; lo confirmamos con el pie de la perpendicular. En b), directores no proporcionales y producto mixto distinto de cero significa que se cruzan. En c), el director de

s

es directamente el vector normal del plano.

Desarrollo

Datos de las rectas. En

r

, con

x = t

y = 2 - 2t

z = 6 - 5t

. Así

r:\ R(0,\ 2,\ 6),\quad \vec{v}_r = (1,\ -2,\ -5)

s

, el punto que se lee en la continua es

S(2, -1, 1)

y el director

\left(-1, 1, \tfrac{1}{3}\right)

, o mejor, multiplicado por

3

s:\ S(2,\ -1,\ 1),\quad \vec{v}_s = (-3,\ 3,\ 1)

a) Con

\overrightarrow{RP} = P - R = (1, -1, -5)

\overrightarrow{RP} \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & -5 \\ 1 & -2 & -5 \end{vmatrix} = (5 - 10)\,\vec{i} - (-5 + 5)\,\vec{j} + (-2 + 1)\,\vec{k} = (-5,\ 0,\ -1)

d(P, r) = \frac{\bigl|\overrightarrow{RP} \times \vec{v}_r\bigr|}{|\vec{v}_r|} = \frac{\sqrt{25 + 0 + 1}}{\sqrt{1 + 4 + 25}} = \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{30}} = \sqrt{\frac{13}{15}} \approx 0{,}9309\ \text{u}

Comprobación con el pie de la perpendicular. Un punto genérico de

r

Q = (t, 2 - 2t, 6 - 5t)

\overrightarrow{PQ} = (t - 1,\ 1 - 2t,\ 5 - 5t)

. Imponiendo

\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{v}_r = 0

(t - 1) - 2(1 - 2t) - 5(5 - 5t) = 30t - 28 = 0 \;\Longrightarrow\; t = \frac{14}{15}

\overrightarrow{PQ} = \left(-\frac{1}{15},\ -\frac{13}{15},\ \frac{5}{15}\right), \qquad \bigl|\overrightarrow{PQ}\bigr| = \frac{\sqrt{1 + 169 + 25}}{15} = \frac{\sqrt{195}}{15} = \sqrt{\frac{195}{225}} = \sqrt{\frac{13}{15}}

que coincide con lo anterior ✓.

b) Los directores

\vec{v}_r = (1, -2, -5)

\vec{v}_s = (-3, 3, 1)

no son proporcionales (

\frac{1}{-3} \neq \frac{-2}{3}

), así que las rectas no son paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan. Lo decide el producto mixto con

\overrightarrow{RS} = S - R = (2, -3, -5)

\bigl[\vec{v}_r,\ \vec{v}_s,\ \overrightarrow{RS}\bigr] = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -5 \\ -3 & 3 & 1 \\ 2 & -3 & -5 \end{vmatrix} = 1\cdot(-15 + 3) + 2\cdot(15 - 2) - 5\cdot(9 - 6) = -12 + 26 - 15 = -1 \neq 0

Los tres vectores no son coplanarios: las rectas $r$ y $s$ se cruzan. (Equivale a

\operatorname{rg}(\vec{v}_r, \vec{v}_s) = 2

\operatorname{rg}(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \overrightarrow{RS}) = 3

.)

c) Un plano perpendicular a

s

tiene como vector normal el director de

s

\vec{n} = (-3, 3, 1)

. Pasando por

P(1, 1, 1)

-3(x - 1) + 3(y - 1) + (z - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; -3x + 3y + z - 1 = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 3x - 3y - z + 1 = 0

Comprobación.

P

3 - 3 - 1 + 1 = 0

✓. El normal

(3, -3, -1)

es proporcional a

\left(-1, 1, \tfrac{1}{3}\right)

(factor

-3

) ✓. Y en a),

R(0, 2, 6)

cumple

2\cdot 0 + 2 = 2

5\cdot 0 + 6 = 6

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) el producto mixto distinto de cero ya basta para decir que se cruzan, pero si sale cero no puedes concluir que se cortan sin mirar antes los directores: con directores proporcionales también se anula y entonces son paralelas o coincidentes.

El $1/3$ del denominador de $s$ es un director como otro cualquiera: multiplícalo por $3$ para trabajar con enteros, pero no cambies el punto $S(2, -1, 1)$ .