Integrales

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{-x}{\sqrt{x^2 + 9}} & \text{si } x < 0 \\[2ex] \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$El dominio es $\mathbb{R}$ (el radicando $x^2 + 9 \geq 9 > 0$) y $f(x) \geq 0$ para todo $x$. Además $f(-x) = \frac{|-x|}{\sqrt{(-x)^2 + 9}} = f(x)$: $f$ es par.

a) En $+\infty$, dividiendo numerador y denominador por $x > 0$ (y $\sqrt{x^2} = x$):$$\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} = \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{9}{x^2}}} = 1$$En $-\infty$, el numerador es $-x > 0$ y $\sqrt{x^2} = |x| = -x$:$$\lim_{x\to-\infty} \frac{-x}{\sqrt{x^2 + 9}} = \lim_{x\to-\infty} \frac{-x}{-x\sqrt{1 + \frac{9}{x^2}}} = 1$$(o, más corto, por la paridad: el límite en $-\infty$ es el mismo que en $+\infty$). La recta $y = 1$ es asíntota horizontal por los dos lados. Como $|x| < \sqrt{x^2 + 9}$ siempre, $f(x) < 1$: la gráfica se acerca a la asíntota por debajo.

b) Para $x > 0$, $f(x) = x\,(x^2 + 9)^{-1/2}$. Por la regla del producto y la de la cadena:$$f'(x) = (x^2 + 9)^{-1/2} + x\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)(x^2 + 9)^{-3/2}\cdot 2x = \frac{(x^2 + 9) - x^2}{(x^2 + 9)^{3/2}} = \frac{9}{(x^2 + 9)^{3/2}}$$Como $4 > 0$ y la rama es derivable en un entorno de $4$:$$f'(4) = \frac{9}{(16 + 9)^{3/2}} = \frac{9}{25^{3/2}} = \frac{9}{125} = 0{,}072$$c) En $[-1, 1]$ la función es continua y no negativa, así que el área es la integral. Por ser $f$ par, el recinto es simétrico respecto de $OY$:$$\text{Área} = \int_{-1}^{1} \frac{|x|}{\sqrt{x^2 + 9}}\,dx = 2\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}\,dx$$Una primitiva es casi inmediata, porque el numerador es (la mitad de) la derivada del radicando:$$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}\,dx = \frac{1}{2}\int 2x\,(x^2 + 9)^{-1/2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{(x^2 + 9)^{1/2}}{1/2} = \sqrt{x^2 + 9} + C$$Regla de Barrow:$$\text{Área} = 2\Bigl[\sqrt{x^2 + 9}\Bigr]_0^1 = 2\left(\sqrt{10} - \sqrt{9}\right) = 2\sqrt{10} - 6 \approx 0{,}3246\ \text{u}^2$$(Sin usar la paridad: en $[-1, 0]$ la primitiva de $\frac{-x}{\sqrt{x^2+9}}$ es $-\sqrt{x^2+9}$, y $\left[-\sqrt{x^2+9}\right]_{-1}^{0} = -3 + \sqrt{10}$, lo mismo que en $[0, 1]$.)

Comprobaciones. $\left(\sqrt{x^2 + 9}\right)' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ ✓. Orden de magnitud: en $[0, 1]$, $f$ crece de $0$ a $f(1) = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0{,}316$ casi en línea recta, así que cada mitad debería rondar $\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot 0{,}316 \approx 0{,}158$; el doble, $0{,}316$, frente a $0{,}3246$ ✓. Y $f'(4) = 0{,}072 > 0$ encaja con que $f$ crece hacia la asíntota en los positivos.