Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Matrices

También trata: Determinantes

Comunidad de Madrid · 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} m & 0 & 2 \\ -2 & 4 & m \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

, se pide:

a) (1 punto) Obtener los valores del parámetro

m

para los que la matriz

A

admite inversa.

b) (1 punto) Para

m = 0

, calcular

A \cdot B

A^{-1} \cdot B

.

c) (0,5 puntos) Calcular

B \cdot B^t

B^t \cdot B

, donde

B^t

denota la matriz traspuesta de

B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ |A| = -(m+2)^2;\ \ A^{-1}\ \text{existe} \iff m \neq -2}

\boxed{\text{b)}\ AB = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix},\ \ A^{-1}B = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}}

\boxed{\text{c)}\ BB^t = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ \ B^tB = (4)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. En a) calculamos

|A|

en función de

m

y vemos para qué valores se anula.

En b),

A\cdot B

es un producto directo. Para

A^{-1}\cdot B

hay dos caminos: calcular

A^{-1}

por adjuntos y multiplicar, o darse cuenta de que

X = A^{-1}B

es la solución del sistema

AX = B

. Hacemos lo primero (es lo que se pide) y lo comprobamos con lo segundo.

En c) solo hay que fijarse en las dimensiones:

B

3\times 1

, así que

B\,B^t

es una matriz

3\times 3

B^t B

1\times 1

, un número. No es lo mismo.

Desarrollo

a) Desarrollamos por la primera fila:

|A| = \begin{vmatrix} m & 0 & 2 \\ -2 & 4 & m \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = m\,\begin{vmatrix} 4 & m \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 0 + 2\,\begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = m(-4 - m) + 2(-2) = -m^2 - 4m - 4

|A| = -(m^2 + 4m + 4) = -(m + 2)^2

que solo se anula en

m = -2

. Por tanto, $A$ admite inversa si y solo si $m \neq -2$ .

b) Con

m = 0

A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ -2 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad |A| = -(0 + 2)^2 = -4

A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ -2 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}

Inversa por adjuntos,

A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\,\bigl(\operatorname{Adj}A\bigr)^t

. Los adjuntos

A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

A_{11} = \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -4, \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -2, \quad A_{13} = \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2

A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2, \quad A_{22} = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 0, \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0

A_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = -8, \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = -4, \quad A_{33} = \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} = 0

A^{-1} = \frac{1}{-4}\begin{pmatrix} -4 & 2 & -8 \\ -2 & 0 & -4 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & 2 \\ \frac{1}{2} & 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 \end{pmatrix}

A^{-1}\cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & 2 \\ \frac{1}{2} & 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}

Comprobaciones.

A\cdot A^{-1} = I

: por ejemplo, la segunda fila de

A

por las columnas de

A^{-1}

(-2 + 2,\ 1 + 0,\ -4 + 4) = (0, 1, 0)

✓ (las otras dos filas, igual). Y

X = A^{-1}B = (-2, -1, -1)^t

debe cumplir

AX = B

A X = (0 + 0 - 2,\ 4 - 4 + 0,\ -1 + 1) = (-2, 0, 0)

✓.

c)

B^t = (-2 \ \ 0 \ \ 0)

, de tamaño

1 \times 3

B \cdot B^t = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad (3\times 3)

B^t \cdot B = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = (4) \quad (1\times 1)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) la corrección da un cuarto de punto solo por enunciar la condición: $A$ tiene inversa si y solo si $|A| \neq 0$ . Escríbela antes de calcular.

En c), $BB^t$ y $B^tB$ no se parecen en nada: uno es una matriz $3\times 3$ y el otro un número. Mira siempre las dimensiones antes de multiplicar; el producto de matrices no es conmutativo.