Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

60\%

de las ventas en unos grandes almacenes corresponden a artículos con precios rebajados. Los clientes devuelven el

15\%

de los artículos que compran rebajados, porcentaje que disminuye al

8\%

si los artículos han sido adquiridos sin rebajas.

a) (1,25 puntos) Determine el porcentaje global de artículos devueltos.

b) (1,25 puntos) ¿Qué porcentaje de artículos devueltos fueron adquiridos con precios rebajados?

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(D) = 0{,}122 \;\Rightarrow\; 12{,}2\,\%\ \text{de los artículos se devuelven}}

\boxed{\text{b)}\ P(R \mid D) = \frac{45}{61} \approx 0{,}7377 \;\Rightarrow\; 73{,}77\,\%}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el esquema clásico de dos etapas: primero si el artículo estaba rebajado o no (eso parte la población en dos) y después si se devuelve o no. Los porcentajes de devolución son condicionados al tipo de artículo. Con un diagrama de árbol, a) es el teorema de la probabilidad total (sumar las dos ramas que acaban en «devuelto») y b) es Bayes: de los devueltos, qué fracción viene de la rama «rebajado». Al final hay que dar porcentajes, que es lo que se pregunta.

Desarrollo

Sucesos.

R

= «el artículo se vendió rebajado»,

\overline{R}

= «se vendió sin rebaja»,

D

= «el artículo se devuelve». Datos:

P(R) = 0{,}6, \quad P(\overline{R}) = 0{,}4, \quad P(D \mid R) = 0{,}15, \quad P(D \mid \overline{R}) = 0{,}08

Árbol:

Rebajado ( $0{,}6$ ) → devuelto ( $0{,}15$ ): $0{,}6 \cdot 0{,}15 = 0{,}09$ ; no devuelto ( $0{,}85$ ): $0{,}51$ .
Sin rebaja ( $0{,}4$ ) → devuelto ( $0{,}08$ ): $0{,}4 \cdot 0{,}08 = 0{,}032$ ; no devuelto ( $0{,}92$ ): $0{,}368$ .

(Las cuatro ramas suman

0{,}09 + 0{,}51 + 0{,}032 + 0{,}368 = 1

✓.)

a) Teorema de la probabilidad total, con la partición

\{R, \overline{R}\}

P(D) = P(R)\,P(D \mid R) + P(\overline{R})\,P(D \mid \overline{R}) = 0{,}6 \cdot 0{,}15 + 0{,}4 \cdot 0{,}08 = 0{,}09 + 0{,}032 = 0{,}122

Se devuelve el 12,2 % de los artículos. Es razonable: está entre el 8 % y el 15 %, más cerca del 15 % porque la mayoría de las ventas son rebajadas.

b) Se pide

P(R \mid D)

: entre los devueltos, la proporción de rebajados. Por el teorema de Bayes:

P(R \mid D) = \frac{P(R)\,P(D \mid R)}{P(D)} = \frac{0{,}09}{0{,}122} = \frac{90}{122} = \frac{45}{61} \approx 0{,}7377

El 73,77 % de los artículos devueltos se compraron rebajados.

Comprobación.

P(\overline{R} \mid D) = \frac{0{,}032}{0{,}122} = \frac{16}{61} \approx 0{,}2623

, y

\frac{45}{61} + \frac{16}{61} = 1

✓. Con 1000 artículos vendidos: 600 rebajados, de los que se devuelven 90; 400 sin rebaja, de los que se devuelven 32; en total 122 devueltos (12,2 %), y

90/122 \approx 73{,}77\,\%

✓.

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Consejo

La corrección resta 0,25 puntos si calculas las probabilidades pero no das los porcentajes: el enunciado los pide expresamente, así que termina con «12,2 %» y «73,77 %».

En b) no confundas $P(R \mid D)$ (de los devueltos, cuántos eran rebajados) con $P(D \mid R) = 0{,}15$ (de los rebajados, cuántos se devuelven). La pista es la frase: «de artículos devueltos» fija el suceso que va detrás de la barra.