Rectas y planos

a) Normales: $\vec{n}_1 = (4, 6, -12)$ y $\vec{n}_2 = (-2, -3, 6)$. Como $\vec{n}_1 = -2\,\vec{n}_2$, los planos son paralelos o coincidentes. Multiplicando $\pi_2$ por $-2$:$$\pi_2 \equiv 4x + 6y - 12z + 10 = 0$$que tiene el mismo primer miembro que $\pi_1$ salvo el término independiente ($10 \neq 1$): son paralelos y distintos. Así que el cubo tiene dos caras opuestas en ellos y su arista $\ell$ es la distancia entre los planos. Con los dos escritos con la misma normal:$$\ell = d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|10 - 1|}{\sqrt{4^2 + 6^2 + (-12)^2}} = \frac{9}{\sqrt{196}} = \frac{9}{14}$$(Lo mismo sale tomando un punto de $\pi_1$, por ejemplo $\left(0, 0, \tfrac{1}{12}\right)$, y midiendo su distancia a $\pi_2$: $\frac{|6/12 - 5|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{9/2}{7} = \frac{9}{14}$.)$$V = \ell^3 = \left(\frac{9}{14}\right)^3 = \frac{729}{2744} \approx 0{,}2657 \ \text{u}^3$$b) La recta $r = \pi_2 \cap \pi_3$. Su director es el producto vectorial de las normales $\vec{n}_2 = (-2, -3, 6)$ y $\vec{n}_3 = (1, -1, 1)$:$$\vec{v} = \vec{n}_2 \times \vec{n}_3 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -3 & 6 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (-3 + 6)\,\vec{i} - (-2 - 6)\,\vec{j} + (2 + 3)\,\vec{k} = (3,\ 8,\ 5)$$Un punto: de $\pi_3$, $x = 2 + y - z$; llevándolo a $\pi_2$, $-2(2 + y - z) - 3y + 6z = 5$, o sea $-5y + 8z = 9$. Con $z = 3$ sale $y = 3$ y $x = 2$: el punto $(2, 3, 3)$ (comprobación: $-4 - 9 + 18 = 5$ y $2 - 3 + 3 = 2$ ✓). Por tanto$$C \in r \;\Longrightarrow\; C = (2 + 3\lambda,\ 3 + 8\lambda,\ 3 + 5\lambda)$$Condición del cuadrado en $B$. Como los vértices son consecutivos, $AB$ y $BC$ son lados contiguos y forman ángulo recto:$$\overrightarrow{AB} = B - A = (-1,\ 1,\ 0), \qquad \overrightarrow{BC} = C - B = (1 + 3\lambda,\ 1 + 8\lambda,\ 5\lambda)$$$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} = -(1 + 3\lambda) + (1 + 8\lambda) + 0 = 5\lambda = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = 0$$Luego $C = (2, 3, 3)$ y $\overrightarrow{BC} = (1, 1, 0)$. Falta la otra condición del cuadrado, lados iguales:$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}, \qquad |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$$y se cumple, así que el cuadrado existe y $C$ es único (la perpendicularidad ya fijaba un único punto de la recta).

Cuarto vértice. En el cuadrado $ABCD$, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$:$$D = A + \overrightarrow{BC} = (2, 1, 3) + (1, 1, 0) = (3,\ 2,\ 3)$$Comprobaciones. $C(2, 3, 3)$ está en $\pi_2$ ($-4 - 9 + 18 - 5 = 0$ ✓) y en $\pi_3$ ($2 - 3 + 3 = 2$ ✓). $\overrightarrow{CD} = (1, -1, 0) = -\overrightarrow{AB}$ ✓ y $\overrightarrow{DA} = (-1, -1, 0) = -\overrightarrow{BC}$ ✓. Las diagonales $\overrightarrow{AC} = (0, 2, 0)$ y $\overrightarrow{BD} = (2, 0, 0)$ miden lo mismo ($2$) y son perpendiculares ✓, como corresponde a un cuadrado.