Optimización

a) Derivamos $E(x) = \sum_{i=1}^{5} (x - m_i)^2$ término a término:$$E'(x) = \sum_{i=1}^{5} 2(x - m_i) = 2\Bigl(5x - \sum_{i=1}^{5} m_i\Bigr)$$Con $\sum m_i = 0{,}92 + 0{,}94 + 0{,}89 + 0{,}90 + 0{,}91 = 4{,}56$:$$E'(x) = 10x - 9{,}12 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{9{,}12}{10} = 0{,}912$$Es decir, $x = \dfrac{m_1 + \cdots + m_5}{5}$: la media de las medidas.

¿Es mínimo? $E''(x) = 10 > 0$ para todo $x$, así que en $x = 0{,}912$ hay un mínimo relativo. Y como $E'(x) < 0$ si $x < 0{,}912$ y $E'(x) > 0$ si $x > 0{,}912$ ($E$ decrece y luego crece), ese mínimo es además absoluto: $E$ es una parábola con coeficiente principal $5 > 0$ y su vértice es el punto más bajo.

b) Integración por partes, $\int u\,dv = uv - \int v\,du$, con$$u = \ln x \;\Rightarrow\; du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad dv = x^2\,dx \;\Rightarrow\; v = \frac{x^3}{3}$$$$\int x^2 \ln x\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C$$Regla de Barrow entre $1$ y $2$ (recordando que $\ln 1 = 0$):$$\int_1^2 x^2\ln x\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9}\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3}\ln 2 - \frac{8}{9}\right) - \left(0 - \frac{1}{9}\right) = \frac{8}{3}\ln 2 - \frac{7}{9}$$Numéricamente, $\frac{8}{3}\ln 2 - \frac{7}{9} \approx 1{,}8484 - 0{,}7778 \approx 1{,}0706$.

Comprobaciones. Derivando la primitiva: $\left(\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9}\right)' = x^2\ln x + \frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x} - \frac{x^2}{3} = x^2 \ln x$ ✓. Y el valor es razonable: en $[1, 2]$ el integrando va de $0$ a $4\ln 2 \approx 2{,}77$ y es creciente, así que la integral tiene que estar entre $0$ y $2{,}77$ ✓. En a), las cinco medidas están entre $0{,}89$ y $0{,}94$, y $0{,}912$ cae en medio ✓.