Distribución normal

a) Tipificando:$$P(X \leq a) = P\left(Z \leq \frac{a - 8{,}5}{2{,}5}\right) = 0{,}05$$Como $0{,}05 < 0{,}5$, el valor tipificado $z_a = \frac{a - 8{,}5}{2{,}5}$ es negativo. Por simetría,$$P(Z \leq z_a) = 0{,}05 \;\Longleftrightarrow\; P(Z \leq -z_a) = 0{,}95$$En la tabla, $P(Z \leq 1{,}64) = 0{,}9495$ y $P(Z \leq 1{,}65) = 0{,}9505$: el $0{,}95$ queda justo en medio, así que tomamos $-z_a = 1{,}645$, es decir, $z_a = -1{,}645$. Deshacemos la tipificación:$$\frac{a - 8{,}5}{2{,}5} = -1{,}645 \;\Longrightarrow\; a = 8{,}5 - 1{,}645 \cdot 2{,}5 = 8{,}5 - 4{,}1125 = 4{,}3875$$Así que $a \approx 4{,}39$. Tiene sentido: el $5\,\%$ de la izquierda queda por debajo de la media, a unas $1{,}6$ desviaciones típicas.

b) Tipificamos los extremos:$$z_1 = \frac{8 - 8{,}5}{2{,}5} = -0{,}2, \qquad z_2 = \frac{9{,}3 - 8{,}5}{2{,}5} = 0{,}32$$$$P(8 \leq X \leq 9{,}3) = P(-0{,}2 \leq Z \leq 0{,}32) = P(Z \leq 0{,}32) - P(Z \leq -0{,}2)$$Por simetría, $P(Z \leq -0{,}2) = 1 - P(Z \leq 0{,}2) = 1 - 0{,}5793 = 0{,}4207$. Con la tabla, $P(Z \leq 0{,}32) = 0{,}6255$:$$P(8 \leq X \leq 9{,}3) = 0{,}6255 - 0{,}4207 = 0{,}2048$$Comprobación de orden de magnitud: el intervalo mide $1{,}3$, alrededor de media desviación típica y casi centrado en la media, donde la densidad vale cerca de $\frac{0{,}4}{2{,}5} = 0{,}16$; $1{,}3 \cdot 0{,}16 \approx 0{,}21$ ✓.