Rectas y planos

Recta en paramétricas:$$r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{array}\right. \qquad t \in \mathbb{R}$$a) El plano contiene a $r$, así que pasa por $Q(1,0,1)$ y tiene la dirección $\vec{v} = (0,1,2)$; como también pasa por $P$, tiene la dirección $\overrightarrow{QP} = P - Q = (-1, -1, 0)$. Estos dos vectores no son proporcionales ($P \notin r$, porque la primera coordenada de $P$ es $0 \neq 1$), así que el plano está bien definido. Vector normal:$$\vec{n} = \vec{v} \times \overrightarrow{QP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 2)\,\vec{i} - (0 + 2)\,\vec{j} + (0 + 1)\,\vec{k} = (2,\ -2,\ 1)$$Plano por $Q(1, 0, 1)$ con normal $(2, -2, 1)$:$$2(x - 1) - 2(y - 0) + (z - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 2x - 2y + z - 3 = 0$$Comprobación: $P$: $0 + 2 + 1 - 3 = 0$ ✓; $Q$: $2 - 0 + 1 - 3 = 0$ ✓; $\vec{n}\cdot\vec{v} = 0 - 2 + 2 = 0$ ✓ (la recta entera está en el plano).

b) Sea $S = (1,\ t,\ 1 + 2t) \in r$. Entonces$$\overrightarrow{SP} = P - S = (-1,\ -1 - t,\ -2t)$$Perpendicular a $r$ significa $\overrightarrow{SP}\cdot\vec{v} = 0$:$$0\cdot(-1) + 1\cdot(-1 - t) + 2\cdot(-2t) = -1 - 5t = 0 \;\Longrightarrow\; t = -\frac{1}{5}$$$$S = \left(1,\ -\frac{1}{5},\ \frac{3}{5}\right), \qquad \overrightarrow{SP} = \left(-1,\ -\frac{4}{5},\ \frac{2}{5}\right)$$Comprobación: $\overrightarrow{SP}\cdot\vec{v} = -\frac{4}{5} + \frac{4}{5} = 0$ ✓.

c) Sea $T = (1,\ t,\ 1 + 2t) \in r$, con $\overrightarrow{PT} = (1,\ 1 + t,\ 2t)$. Imponemos $|\overrightarrow{PT}|^2 = 5$:$$1 + (1 + t)^2 + 4t^2 = 5 \;\Longrightarrow\; 5t^2 + 2t - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{10} = \frac{-2 \pm 8}{10}$$Las soluciones son $t = \frac{3}{5}$ y $t = -1$:$$T_1 = \left(1,\ \frac{3}{5},\ \frac{11}{5}\right), \qquad T_2 = (1,\ -1,\ -1)$$Comprobación: $|\overrightarrow{PT_1}|^2 = 1 + \frac{64}{25} + \frac{36}{25} = 1 + 4 = 5$ ✓ y $|\overrightarrow{PT_2}|^2 = 1 + 0 + 4 = 5$ ✓.

Área con el producto vectorial. Con $\overrightarrow{PT_1} = \left(1, \frac{8}{5}, \frac{6}{5}\right)$ y $\overrightarrow{PT_2} = (1, 0, -2)$:$$\overrightarrow{PT_1} \times \overrightarrow{PT_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & \frac{8}{5} & \frac{6}{5} \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \left(-\frac{16}{5},\ \frac{16}{5},\ -\frac{8}{5}\right) = \frac{8}{5}\,(-2,\ 2,\ -1)$$$$\left|\overrightarrow{PT_1} \times \overrightarrow{PT_2}\right| = \frac{8}{5}\sqrt{4 + 4 + 1} = \frac{24}{5} \;\Longrightarrow\; \text{Área} = \frac{1}{2}\cdot\frac{24}{5} = \frac{12}{5} = 2{,}4 \ \text{u}^2$$Comprobación con base por altura. La base es $|T_1T_2| = \left|\left(0, -\frac{8}{5}, -\frac{16}{5}\right)\right| = \frac{8}{5}\sqrt{5}$ y la altura es la distancia de $P$ a $r$, que por b) es $|\overrightarrow{SP}| = \sqrt{1 + \frac{16}{25} + \frac{4}{25}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$:$$\text{Área} = \frac{1}{2}\cdot\frac{8\sqrt{5}}{5}\cdot\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{12}{5}$$Coincide ✓. (El triángulo es isósceles: $S$ es el punto medio de $T_1T_2$, pues $\frac{3/5 + (-1)}{2} = -\frac{1}{5}$.)